课时验收评价(18) 利用导数研究不等式的证明（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共3页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（十八） 利用导数研究不等式的证明 1.设函数fx)=nx一x十1. (1)讨论fx)的单调性； (2)求证：当x∈(1，十o)时，1<x-11nx<x 解：(1fw)=1x-1(>0) 由fxP0,解得0<x<1:由fx)<0,解得之1. fx)在(0,1)上单调递增，在(1，十o上单调递减. (2)证明：要证当x∈(1，十)时，1<x一11nxsx, 即证lnx-1xlnx. 由(1)得fx)=nx一x十1在(1，十o)上单调递减， ∴.当x∈(1，+o)时，fx)f1)=0,即有lnx<x-1 设F(x)=xlnx-x十1， 则F'()=1+lnx-1=lnx 当x∈(1，+o)时，F(x>0,F(x)单调递增 ∴.Fx少F(1)=0,即有xnx一1.∴.原不等式成立. 2.己知函数fr)=lnx十ax,a∈R ()讨论函数fx)的单调性： (2)当a>0时，求证：x22a-1a 解：(1)f(w)=1x-ax2=x-ax2(>0). ①当a≤0时，fx>0,x)在(0，十∞)上单调递增 ②当a>0时，若>a,则fP0,函数fx)在(a,十上单调递增： 若0<<a,则fx)<0,函数f)在(0，a上单调递减. 综上所述，当a<0时，fx)在(0，十)上单调递增： 当a>0时，fx)在(0，a)上单调递减，在(a,十)上单调递增， (2)证明：(1)知，当a>0时，x)min=fa)=lna十1. 要证fx)22a一1a,只需证lna+122a-1a 即证lna+1a-1≥0. 令函数g(a)=lna+1a-1(a>0),则g'(a)=1a-1a2=a-1a2, 当0<a<1时，g'(a)<0:当a>1时，g'a)>0, 所以g(@)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以g(@)min=g(1)=0. 所以lna+la一1≥0恒成立，所以fx)22a-1a成立. ·独家授权侵权必究 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.已知fw)=xlnx,g)=-x2+ax一3. (1)若对一切x∈(0，十o),2fx)2g()恒成立，求实数a的取值范围： (2)求证：对-切x∈0，十o),lnx>1ex-2ex恒成立. 解：(1)由题意知2xln之-x2+ax-3对一切x∈(0，+o)恒成立，则a2nx十x+3x 设h(x)=2lnx十x+3x(x>0),则h'(x)=x+3 x-1x2. 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h)单调递减： 当x∈(1，+o)时，h'x)>0,h()单调递增 所以h(x)mim=h(I)=4, 因为对一切x∈(0，十o),2fx2gx)恒成立， 所以ah(xmim=4,故实数a的取值范围是（一o,4. (2)证明：问题等价于证明xnx>xex一2e(x>0), 因为fx)=xlnx(c>0),f(x)=lnx+1, 当x∈\a\vs4\al\col(0,\f(1e)时，fx)<0,f)单调递减： 当x∈1a\vs4\al\co1(f(1e),+o)时，f(>0,fx)单调递增， 所以fx)mim=八alvs4\al\col(f(1e)=-le. 设m()=xex一2ec>0),则m'(x)=1一xex, 当x∈(0，)时，m'x)>0,m)单调递增； 当x∈(1，十o)时，m'x)<0,m)单调递减， 所以m(c)mx=m(1)=一1e, 从而对一切x∈(0，十o),x)>m()恒成立， 即xlnx>xex-2e恒成立， 所以对一切x∈(0，十∞)，lnx>1ex一2ex恒成立. 4.已知函数fy=x1nxx十m,g(x)=xex,且曲线y=fx)在x=1处的切线方程为x一2y 十n=0. ()求m,的值： (2)证明：fx)>2gx)一1. 解：()由已知得，f1)=0,.1-0十n=0, 解得n=一1. .f(x)=In x+1 x十m一xIn xx十m2, f(1)=m+11十m2=12,解得m=1. (2)证明：设h(x)=er一x一1(0)， 则h'(e)=c2-1>0, .h(c)在(0，十o上单调递增。 ·独家授权侵权必究 第3页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 .h(xPh(0)=0,即e>x+1>1,.1ex<1x+1. 要证fx)>2g(x)-1,即证x1nxx+1>2xex-1, 只需证xln xx-十1≥2xx+1-1,即证xn之x-1, 令m)=nx一x十1，则m'x)=nx, .当x∈(0,1