课时验收评价(28) 解三角形中的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共3页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（二十八）解三角形中的综合问题 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinB+sin2C=sin2A十sin Bsin C. (1)求A: (2)若b+c=6,求△MBC的中线AM的最小值. 解：(1)在△4BC中，由正弦定理化sin2B+sin2C=sin2A十sin Bsin C为b2+c2=a2+bc, 即b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12, 而0<4<n,所以A=3. 2因AM是△4BC的中线，则一=12-rc0(avs4al\col(+),由)知 A=r3, 于是符2=14+)2=14b2+c2+bd=14[b+c2-bcp14b+c2-\ b\1c\(rc\)(a\vs4\al\co1(f(b+c2))2)=274, 当且仅当b=c=3时等号成立，则a\vs4\alco10≥3)2，所以△4BC的中线AM 的最小值为3)2. 2.(2021新高考I卷)记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac, 点D在边AC上，BD.sin∠ABC=asin C. (I)证明：BD=b. (2)若AD=2DC,求c0s∠ABC 解：(L)证明：由BD-sin∠ABC=asin C及正弦定理，得BD=asin Csin∠ABC=acb =b2b=b. (2)由cos∠BDA+cos∠BDC=0及余弦定理，rc3)b)23+rc3)b)13=0. 整理得11362-2a2-c2=0,即113ac-2a2-c2=0, 所以\a\vs4\al\col(f(ca))2-113ca+2=0,解得ca=3或ca=23. 所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac =re\caca. 当ca=3时，cos∠ABC=1+9-32×3=76(不合题意，舍去)：当ca=23时，cos∠ ABC=42323=712. 所以cos∠ABC=712. 3.已知四边形ABCD是由△ABC与△ACD拼接而成的，且在△ABC ◆独家授权侵权必究· 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 中，2AB-BC=AC2+AB2-BC2AB ()求角B的大小 (2)若sin∠ACD=7)14,∠ADC=5I6,AD=1,BC=2.求AB的长. 解：()，24B-BC=AC2+AB2-BC2AB, ∴.整理可得，BC2十AB2一AC2=BCAB, ∴.在△4BC中，由余弦定理可得cosB=BC2+AB2-AC22AB·BC=12, 0<B<m,.B=I3. (2)在△4ADC中，由正孩定理ACsin D-=ADsin∠DCA,可得AC5m6=1r(714,可得AC =7,在△4BC中，由余弦定理AC2=BC2+AB2-2 AB-BC.cos B, 可得7=4十AB2-2×2×AB×12, 可得AB2-2AB一3=0，解得AB=3(负值舍去)， 4.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c-b=a(3sinC-cosC. (1)求角A: (2)若a=2,1,S分别表示△4BC的周长和面积，求S1的最大值. 解：()由已知及正弦定理得 2sin C-sin B=3sin Asin C-sin Acos C, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以2sinC=3 sin Asin C+cos Asin C, 在△MBC中，sinC0,所以3sinA+cosA=2,即sin\a\vs4\al\col(A+\f(r6))= 1,因为0<4<π，所以A=I3 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A, 可得b2+c2-bc=4,所以(b+c)2-4=3bc.() I=a+b+c=2+b+c,S=12besin A=3)4bc, 所以S1=3)bc42+b+c,将()式代入，可得S1=3)[b+c2-4]122 +b+c=3)12b+c-2). 因为bc≤b十c24,所以(*)式可得b+c)2-43b十c24,即b十≤4当且 仅当b=c=2时等号成立)，故S1的最大值为3)12×(4一2)=3)6. 5.在锐角△4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin2C-sin2B=sin2A一3sin Asin B ()求角C的大小： (2)求sinA十cosB十tanC的取值范围， 解：()）因为sin2C-sin2B=sinA-3 sin Asin B, 由正弦定理得c2-b2=a2-3ab, ·独家授权侵权必究 第