抽象函数模型总结 讲义——2024届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 【导数】抽象函数模型 注： 标题中的方程 里的 可以是 、 或是 . 今天，为何关注这个关于函数的小知识点？ 因为就是这个小点已经连续两年出现在高考试卷上了！比如，今年（2023）年新高考Ⅰ卷多选次压轴，第11道题，再比如，2022年新高考Ⅱ卷单选压轴第8题，都以抽象函数命制的！想必接下来的各省市模拟卷将大量出现这个题型！因此，有必要把这种抽象函数概括总结清楚。 那为什么又说这个知识点小呢？ 其一，我们在函数教学中，重点关注的是函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等。其二在于这个知识点本身，无论抽象函数多复杂，其一定对应着一个函数原型，只要你用心总结到位，这种题型是没必要绞尽脑汁想如何赋值的（赋值法是解决这种题型的一种很传统的方法）！ 今天小π就和你一起用心总结一下到底有多少种抽象函数？ 理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？ 是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型 ，往往还会给出一个限制条件，比如 等等，这样就限制了原函数的唯一性。 ( 【例 2 】 (2022新高考全国II卷· T 8) 已知函数 的定义域为R，且 ，则 (　　) A． B． C．0 D．1 ) 比如2022 年新高考全国 II 卷 8（原题如上图），除了给出抽象函数模型： ，还给出了 ，这是有必要的，下面会讲到这个抽象函数模型至少对应了两种原函数， 和 . 就限制了这道题原函数只能是 的形式（、 系数利用题设和隐藏条件待定）。 另外，在高中知识内，一种抽象函数往往只对应一种原函数，同学们不用多虑，见到题中抽象函数模型后，大胆写出原函数的形式即可，系数用题设条件和隐藏条件（往往采用赋值得到）待定。 下面先以高中常见的初等函数依次总结与其对应的抽象函数，之后在拓展一些不常见的原函数和其对应的抽象函数。 一次函数 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . 二次函数 （3） 对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为 幂函数 （4） 对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为 . （5） 对于幂函数 ，其抽象函数还可以是 . 指数函数 （6） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 . （7） 对于指数函数 ，其抽象函数还可以是 . 其中 对数函数 （8） 对于对数函数 ，与其对应的抽象函数为 . （9） 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 . （10） 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 . 其中 三角函数 （11） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式： （12） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式： （13） 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 注： 此抽象函数对应于余弦积化和差公式： （14） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式： 到此，常见的初等函数和与其对应的抽象函数已经总结完毕，关于如何证明，对于三角函数部分已经给出其对应构造恒等式；对于一二次函数、幂函数、指对函数证明时类似的，下面小派仅证明其中一个，其余的类似, 求证： 二次函数 对应的抽象函数为 证明： 以下总结的是不常见的原函数和其对应的抽象函数，同学们接下来会看到，有的抽象函数在上面已经出现过。 反三角函数 反三角函数有反正弦、反余弦、反正切等等，由于其对应的抽象函数较为复杂且一般都对定义域有要求，下面仅仅给出相对简单的， （15） 对于反正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， 或 . （16） 对于反正弦函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， 或 . （17） 对于反余弦函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， . （18） 对于反余弦函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， （19） 对于反正切函数 ，与其对应的抽象函数为 其中， . （20） 对于反正切函数 ，对应的抽象函数还可以是 其中， . 双曲函数 以下是三个常见的双曲函数表达式， 双曲函数和三角函数非常相似。三角函数具有的和角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式、半角公式、升幂降角等等，双曲函数一样具有，这就导致双曲函数和三角函数的抽象函数模型一样具有相似性。 另外，小派想多说一嘴，在复变函数领域双曲函数、三角函数和虚数单位 存在恒等关系式： 注： 上面双曲函数与三角函数