重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离（四大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离 目录 知识点1：线与线的夹角 （1）位置关系的分类： （2）异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 知识点2：线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 知识点3：二面角 （1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角） （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围． （3）二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了． 知识点4：空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 题型一：异面直线所成角 例1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角的大小为，且与交线所成的角为，则直线所成的角的正切值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 变式1．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·全国·高三对口高考）两条异面直线a、b所成角为一条直线l与a、b成角都等于，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱台中，，其体积为为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 变式4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱的棱长均相等，E是的中点，则异面直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型二：线面角 例4．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱中，，，则与平面所成角的正弦值等于（    ）    A． B． C． D． 例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，，. (1)求的长度； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 例6．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台中，，，为中点，在上，.    (1)请作出与平面的交点，并写出与的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理由）； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在多面体中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，侧面