第01讲 数列的概念及其表示（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第01讲 数列的概念及其表示（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年全国甲卷（理科）， 第17题,10分 利用与关系求通项或项 错位相减法求和 2022年新I卷，第17题,10分 利用与关系求通项或项 累乘法求数列通项 利用等差数列通项公式求数列中的项 裂项相消法求和 2022年全国甲卷（理科）， 第17题,10分 求数列最值 利用与关系求通项或项 2022年全国乙卷（理科）， 第4题,5分 判断数列单调性 数学新文化 2021年全国甲卷（理科）， 第7题,10分 判断数列单调性 充分条件与必要条件 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分 【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法 2.能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式 3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习 知识讲解 1．数列的有关概念 概念 含义 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3. 数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 4．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ （1）已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． （2）Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 5．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 6. 根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式． 7. 根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式． 8.形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项． 9.根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式． 10. 数列的周期性 对于无穷数列,如果存在一个正整数,对于任意正整数恒有成立,则称是周期为的周期数列.的最小值称为最小正周期,简称周期. 考点一、数列周期性的应用 1．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 2．（湖南·高考真题）已知数列满足， ，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知数列满足，，为数列的前n项和，则 . 3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ． 考点二、数列单调性的应用 1．（2021·全国·统考高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，