专题提升01 倍长中线模型（几何模型）-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十二章 全等三角形 12.2三角形全等的重要模型 倍长中线模型 学习目标： 1、 了解倍长中线法的基本方法。 2、 会运用倍长中线法构造全等三角形证明和计算； 3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。 老师对你说： 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型--倍长中线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 全等三角形的对应边相等,对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据,在解题过程中若不能直接运用,则需要通过作辅助线来构造全等三角形，若已知条件中存在中线,可将中线延长,将要求解或证明的结论进行转化,进而解决问题。 倍长中线法定义 延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角． 示例剖析 其中，延长使得，则． 其模型也属于“字型或成字型”. 基本模式： 1.基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，为的中点. 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点. 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 【例1-1】【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是（    ）． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA (2)AD的取值范围是（    ）． A．    B．    C．    D． (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【例1-2】【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证： 证明∵（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ∵，（已证）， （已知）， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长． 针对性训练1 1 .课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 2 .如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点E，使；连接． (2)求证：． (3)求证：． (4)若，，求的取值范围． 变式模型： 【例2-1】已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，连接DE，DF，EF． （1）求∠ECF的度数； （2）求证：△DEF为等腰直角三角形． 【例2-2】.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME． 【例2-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 针对性训练2 1.如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP＝CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP＝DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的长． 2 .如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH上的中点，求证：MA⊥BC． 巩固提高 1．是的中线，，则的取值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 2．如图，在中