专题提升02 角平分线有关的全等证明模型-2023-2024学年八年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

八年级数学上分层优化堂堂清 十二章 全等三角形 12.3三角形全等的重要模型 角平分线有关的全等证明模型 学习目标： 1、 会利用角平分线构造全等三角形证明和计算； 2、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。 老师对你说： 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型--角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 全等三角形的对应边相等,对应角相等是证线段相等或角相等的重要依据,在解题过程中若不能直接运用,则需要通过作辅助线来构造全等三角形，若已知条件中存在角平分线可利用角平分线条件作辅助线构造全等三角形进而解决问题。 模型一 过角平分线上的点向角两边作垂线。 过点D作DF⊥BC，交BC于点F △BED≌△BFD（AAS） 方法：利用角平分线性质，取角平分线上一点，向被平分的角的两边作垂线 注：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。 目的：构造一组全等三角形 【例1-1】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数． 【例1-2】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 求证：∠ADC+∠B=180º 【例1-3】如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 针对性训练1 1 .在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求证DE＝DF． 2.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 模型2 截长补短构造全等三角形 截长 补短 在BC在截取BF=BE 延长BC至点F，使BF=AE △BED≌△BFD（SAS） △BED≌△BFD（SAS） 【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD； （2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【例2-2】已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD． 【例2-3】如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求证：DE＝DF． 针对性训练2 1 .已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 2. 如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． (1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC； (2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 巩固提高 1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF。 2．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 3．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？ 小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是　 　． （2）拓展应用：