江苏省苏州市常熟中学2022-2023学年高一英才班下学期6月学业质量阳光指标调研数学试题

2022~2023学年第二学期英才班学业质量阳光指标调研卷 数学试题 一、选择题（共8小题） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z＝（为虚数单位），则它在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ） A -3 B. -1 C. 1 D. 3 4. 设，为正实数，则“”是“”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，），则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（　　） A. 2 B. C. D. 1 8. 已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题） 9. 已知向量，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：，.则下列结论正确的是（ ） A. 函数是上的单调递增函数 B. 函数有个零点 C. 是上的奇函数 D. 对于任意实数，都有 12. 如图，点为边长为1的正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（ ） A. 直线、是异面直线 B. C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（共4小题） 13. 已知是边长为等边三角形,在边上,且,为的中点,则__________. 14. 已知复数满足方程：，则______． 15. 已知正实数x，y满足x＋y＝1，则最小值为__________． 16. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则 ①平面DEF截得球的截面面积最小值为_______________； ②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为_______________． 四、解答题（共6小题） 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值： （2）若，解不等式． 18. 设两个向量满足， （1）求方向单位向量； （2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 19. 在中，角的对边分别是，的面积为. （1）若，，，求边； （2）若是锐角三角形且角，求的取值范围. 20. 如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，E是BC的中点. （1）求证：平面； （2）求证：直线平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 21. 如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点B在弧上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值； （2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃面积的最大值． 22. 俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”. （1）若，，求函数与的“偏差”； （2）若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值. 2022~2023学年第二学期英才班学业质量阳光指标调研卷 数学试题 一、选择题（共8小题） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（共4小题） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BD 【12题答案】 【答案】BD 三、填空题（共4小题） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】3 【15题答案】 【答