1.2.3直线与平面的夹角 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册课

1．2.3　直线与平面的夹角 葫芦岛第一高级中学 数学组 1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念. ⒉能用向量语言表述直线与平面的夹角. 3.能用向量法求线面角. 本节课的学习目标要时刻牢记哦！！ 1．直线和平面所成的角 让我们一起开启知识的大门吧！ 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 (　　) A．120°　　　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 一起看个小例题！！！！ 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D的夹角为________． 4.如图，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD， AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余 弦值． 来个随堂小测试，比比谁更快！！ D THANK YOU 非常感谢您的聆听 2．最小角定理 3．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝ 或θ＝ ，特别地cos θ＝ 或sin θ＝ ． eq \f(π,2) －〈v，n〉 〈v，n〉－ eq \f(π,2) sin 〈v，n〉 |cos 〈v，n〉| 答案：C　 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________． 解析：如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C， 所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角， 设正方体的棱长为1，则OB1＝ eq \f(\r(2),2) ，CB1＝ eq \r(2) ， sin ∠B1CO＝ eq \f(\f(\r(2),2),\r(2)) ＝ eq \f(1,2) ，可得∠B1CO＝30°. 即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°. 答案：30° 解析：如图所示，连接A1C1交B1D1于E， 则有A1C1⊥B1D1，连接BE. ∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1， ∴DD1⊥A1C1，∴DD1⊥A1E. 又∵A1E⊥B1D1，∴A1E⊥平面BB1D1D. ∴∠A1BE是A1B与平面BB1D1D所成的角． 在Rt△A1BE中，A1E＝ eq \f(1,2) A1C1＝ eq \f(1,2) A1B.∴∠A1BE＝ eq \f(π,6) . 即A1B与平面BB1D1D所成的角为 eq \f(π,6) . 答案： eq \f(π,6) 解：由题设条件知，可建立以AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AS所在直线为z轴的空间直角坐标系(如图所示).若设AB＝1，则A，B，C，D，S的坐标分别为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，1，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0)) ，(0，0，1)， ∴eq \o(AS,\s\up17(―→))＝(0，0，1)，eq \o(CS,\s\up17(―→))＝(－1，－1，1)，显然eq \o(AS,\s\up17(―→))是底面的法向量．它与已知向量eq \o(CS,\s\up17(―→))的夹角β＝90°－θ，故有sin θ＝cos β＝o(AS,\s\up17(―→)) eq \f(·eq \o(CS,\s\up17(―→)),|eq \o(AS,\s\up17(―→))||eq \o(CS,\s\up17(―→))|) ＝ eq \f(1,1×\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) ，cos θ＝ eq \r(1－sin2θ) ＝ eq \f(\r(6),3) . 2．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为 (　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(5),2) C． eq \f(\r(10),5) D． eq \f(\r(10),10) 解析：如图，连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求． C1O＝ eq \f(1,2) × eq \r(42＋42) ＝2 eq \r(2) ，BC1＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ， ∴sin ∠C1BO＝ eq \f