精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

哈九中2024届高三学年上学期开学考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正实数m，n满足，则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 5. 若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数 ​，若​，则​最小值为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 7. 已知是定义在上的偶函数且在上为减函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义表示两个数中的较小者，表示两个数中的较大者，设集合都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有，,则的最大值是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”是“”充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，有”的否定是“，使” D. “是方程的实数根”的充要条件是“” 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若，，，则（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷 三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知幂函数满足，则______. 14. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________．（填写序号） ①② ③④ 15. 已知函数，则不等式的解集为______. 16. 已知，则最小值为______. 四、解答题：本题共有6个小题，共70分． 17. 设函数，集合 （1）证明:. （2）当时，求. 18. 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇. 某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知定义域为，对任意都有，当时， （1）求； （2）证明:在上减函数； （3）解不等式:. 20. 已知.定义，设. （1）若，画出函数的图象并直接写出函数的单调区间； （2）定义区间的长度.若，则.设关于的不等式的解集为.是否存在实数，且，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：； （2）若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离. 22. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若，证明:在上恒成立； （3）若方程有两个实数根，且， 求证:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈九中2024届高三学年上学期开学考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可得,, 或， 对于A, 或，故A错误， 对于B，，故