专题2.1 命题、定理、定义（四个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

2.1命题、定理、定义 知识点1命题 1、命题概念:在数学中，我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。 2、命题的分类: 命题中，判断为真的语句叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题。 （1）判断命题真假的依据为常见的公理、定理、推论等; （2）一个命题不是真命题，就是假命题，不能模棱两可; （3）判断含参命题的真假，需要将命题转化为恒成立或存在性语句进行讨论研究。 3、判断一个命题真假的方法: 在数学中，要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例即可;而要书名一个命题是真命题，要经过严格的逻辑推理，一般根据已有的知识（如数学中的定义、定理、公式等）判断。 二、命题的结构形式 1、命题的一般形式:若，则”，其中叫做命题的条件, 叫做命题的结论。 2、确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若，则”的形式. 三、公理、定理、定义 1、公理、公认的真命题称为公理，它不需要证明，可以作为推理的依据而直接使用。 2、定理:已经被证明为真的命题，可以作为推理的依据为直接使用。 3、定义:定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或揭示所研究对象中对象的内涵，定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 重难点1 命题的概念 【例1】下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【例2】有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】下列命题中，是真命题的是（   ）命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【变式1-2】在下列语句中，命题的个数是（    ） ①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则. A． B． C． D． 【变式1-3】以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 重难点2 命题的改写 【例3】将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式_____. 【例4】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【变式2-1】命题：若，则且，条件p：_____，结论q：_____. 将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。 改写前后命题的真假不发生变化。 【变式2-2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）两个无理数的和是无理数； （4）乘积为正数的两个数同号； （5）两个奇数的和是偶数； （6）矩形的四个角相等； （7）等腰三角形的两个底角相等； （8）直径所对的圆周角是直角. 【变式2-3】将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 重难点3 判断命题的真假 【例5】下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【变式3-1】下列命题中真命题有_____. 由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． 【变式3-2】判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 【变式3-3】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 重难点4 已知命题的真假求参数 【例4】已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【例5】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a