第04讲 二倍角公式及简单的三角恒等变换-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第04讲 二倍角公式及简单的三角恒等变换 【考试要求】 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝ . (2)公式C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ (3)公式T2α：tan 2α＝. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 1.（多选）下列判断下列结论正确的是（ ） A 半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的． B 存在实数α，使tan 2α＝2tan α. C cos2＝. D tan ＝＝. 2 计算：求下列各式的值。 3.(sin 15°+cos 15°)2的值为(　　) A. B. C. D. 4．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 5．若α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 考点一 二倍角公式的应用 角度1 给角求值 例1（1）(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　) A. B. C. D. 【对点训练1】的值为(　　) A. B. C.- D.- 角度2 给值求值 例2．（1）已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于(　　) A.　　 B. C. D. （2）已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________. 【对点演练1】已知cos 2α＝，则sin2α＝ (　　) A. B. C. D. 【对点演练2】若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　) A. B. C. D. 【对点演练3】若sin＝，则cos 2x的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 例3已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【对点演练1】已知cos＝，θ∈，则sin＝　　　　.  【对点演练2】已知，≤α<，（1）求的值 （2）求的值． 角度3 给值求角 例4 已知 sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝ . 考点二 三角恒等变换 角度1三角函数式的化简 例5(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　) A. B. C. D. 【对点演练1】已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________. 【对点演练2】若,求的值 角度2　三角函数式的求值 例6　计算：(1)sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°； (2)－； (3). 【对点演练】求值：sin 50°(1＋tan 10°)＝________. 角度3 三角关系式的证明 例7 证明： 【对点演练】证明： 考点三 三角变换的综合应用 例5　已知f(x)＝sin＋2sin·cos. (1)求f 的值； (2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值． 【对点演练】已知3sin α＝2sin2－1. (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值． 例题 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则的值为(　　) A．－ B．－8 C．8 D. 【对点演练】黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金△ABC中，＝，根据这些信息，可得sin 54°等于(　　) A. B. C. D. 1.已知，则的值为( ) A． B． C． D． 2.已知，则 ( ) A.2 B. C. D. 或0 3.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点，则的值为（ ） A.