第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第03讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【考试要求】 1.经历推导两角差余弦公式的过程，了解两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 3．两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. 1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　 　) (2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　 　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　 　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　 　) 2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) A．－ B. C．－ D. 3.已知cos α＝－，α∈，则sin＝（　　） A.－　　B. C.－ D. 4．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ . 考点一 两角和与差的正余弦公式 角度1 给角求值 例1（1）的值为（ ） A． B． C． D． （2）求值：（ ） A． B． C． D． （3）（ ） A． B． C． D． （4）的值是（ ） A． B． C． D． （5）的值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练1】计算（ ）． A． B． C． D． 【对点演练2】的值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练3】化简，得（ ） A． B． C． D． 例2计算：（ ） A． B． C． D． 【对点演练1】________． . 【对点演练2】计算:__________,__________. 角度2 给值求值 例3（1）若,均为第二象限角,满足,,则( ) A. B. C. D. （2）已知都是锐角，，，则（ ） A．1 B． C． D． （3）已知，，，，则（　　） A． B． C． D． 【对点演练1】已知为第四象限角,且,则( ) A. B. C. D. 【对点演练2】已知,若,,则( ) A. B. C. D. 【对点演练3】若，则（ ） A． B． C． D． 角度3 给值求角 例4.设，则的大小是（ ） A． B． C． D．或 【对点演练】已知，，均为锐角，则角等于 A． B． C． D． 考点二 两角和的正切公式 角度1给角求值 例5（1）= （2）的值等于（ ） A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° （3）（ ） A．1 B． C． D． （4）的值等于（ ） A． B． C． D． 【对点演练1】在中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练2】（ ） A．1 B． C．2 D．3 【对点演练3】下列式子结果为的是（ ） ①；②；③；④. A．①② B．③ C．①②③ D．②③④ 角度2 给值求值 例6 已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练】已知，，那么等于（ ） A． B． C． D． 角度3 给值求角 例7在中，已知，，则C的大小为（ ） A．90° B．45° C．135° D．60° 【对点演练1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【对点演练2】已知，是方程的两根，