第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（五大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 直线、平面垂直的判定与性质 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． （2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用． 2022年乙卷（文）第9题，5分 2022年乙卷（文）第18题，12分 2021年浙江卷第6题，4分 2021年II卷第10题，5分 选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题． 知识点1：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 知识点4：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【解题方法总结】 线线线面面面 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置． 性质 性质 性质 性质 性质 判定 判定 判定 判定 判定 线∥面 线∥线 面∥面 线⊥面 线⊥线 面⊥面 题型一：垂直性质的简单判定 例1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题： ①若∥，，则∥， ②若，，则， ③若，，则∥， ④若，，，则 其中正确的命题是（） A．②③ B．②④ C．①③ D．①② 变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题: ①； ②平面平面； ③平面平面； ④三棱锥体积为. 其中正确命题序号为（ ） A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④ 变式3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（） A．，，且 B．，，，且， C．，，，且 D．，，且 【解题方法总结】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 题型二：证明线线垂直 例4．（2023·贵州黔东南·凯