专题11 导数中的极值偏移问题（4类常考，全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2024年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题11 导数中的极值偏移问题（全题型压轴题） 目录 ①对称化构造法 1 ②差值代换法 3 ③比值代换法 4 ④对数均值不等式法 5 ①对称化构造法 1．（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．有两个零点 C．若，恒成立，则 D．若，，，，则 2．（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程的两个解为、，求证：. 3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)若，，是方程的两个实数根，证明：． 4．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点． (1)求实数的值； (2)若存在，使得，求证：． 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． ②差值代换法 1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，．其中为自然对数的底数． （1）若，讨论的单调性； （2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的导函数为. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且. 3．（2023·河南·校联考模拟预测）设函数. (1)讨论的单调性; (2)若有两个零点和，设，证明：（为的导函数）. ③比值代换法 1．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点、，证明. 2．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 3．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）. (1)若函数的最小值为2，求的值； (2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：. ④对数均值不等式法 1．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 3．（2023·全国·高三专题练习）设函数. (1)若对恒成立，求实数的取值范围； (2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数. 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，. (1)求证：，； (2)若存在、，且当时，使得成立，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题11 导数中的极值偏移问题（全题型压轴题） 目录 ①对称化构造法 1 ②差值代换法 7 ③比值代换法 10 ④对数均值不等式法 17 ①对称化构造法 1．（多选）（2023春·山东德州·高二统考期末）定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．有两个零点 C．若，恒成立，则 D．若，，，，则 【答案】AD 【详解】因为，所以， 令，则， 所以设，所以， 又因为，所以； 对于A，因为，所以， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，令，得， 所以有一个零点，故B错误； 对于C，因为在单调递增，所以时，， 所以，故C错误； 对于D，因为在单调递减，在单调递增， 且唯一零点为，当时，且， 所以若，，，， 可以设， 假设正确，下证明，即证， 因为，在单调递减， 所以即证，即证， 构造， 则， 因为，所以，，，则， 所以在上单调递增，所以， 即得证，原式成立，故D正确. 故选：AD 2．（2023春·河北张家口·高二统考期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程的两个解为、，求证：. 【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； (2)证明见解析 【详解】（1）解：函数的定义域为，且， 令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. （2）解：设，其中，则， 令，可得，此时，函数在上单调递减， 令，可得，此时，函数在上单调递增， 所以，是函数的极小值点， 因为函数有两个零点、，设，则， 即且，要证，即证， 因为函数在上