精品解析：湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题

颐华学校2021级高三上学期入学考试试卷数学 一、单选题（40分） 1. 已知集合，，若，则有（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则函数零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C 外心重心垂心 D. 外心重心内心 4. 设等比数列的前n项和为，，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 设，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知四棱锥的底面是边长为正方形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多选题（20分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从二项分布，则 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是 D. ， 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且，，则（ ） A. 直线AC与直线EF异面 B. 存在t，使得平面AEF C. 存在t，使得平面平面BCD D. 三棱锥体积最大值为 12. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. C. 的面积为 D. 三、填空题（20分） 13. 已知，则的值为__________. 14. 在的展开式中，的系数是__________． 15. 已知，分别为双曲线C：（，）左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______． 16. 函数有两个零点，且极大值小于，则实数的取值范围是________. 四、解答题（70分） 17. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，，求的周长与面积. 18. 设数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点. （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值. 20. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表． 非常喜欢 喜欢 合计 A 30 15 B x y 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35． （1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？ （2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系． （3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望． 附：，， 0．05 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 21. 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 22. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 颐华学校2021级高三上