湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题

大联考长沙市一中2024届高三月考试卷（一） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（ ） A ，有 B. ，有 C. ，使得 D. ，使得 2. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知非零向量，则下列命题错误的是（ ） A. B. C. 与向量共线的单位向量为 D. 记，则向量在向量上的投影向量为 6. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁： 如果只有一个假命题，则该命题为（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知，则（ ） A. 的展开式中没有常数项 B. 的展开式中系数最大的项是 C. 的展开式的二项式系数之和为128 D. 的展开式中各项的系数之和为1 10. 如图，与分别为圆台上､下底面直径，，若，则（ ） A. 圆台的全面积为 B. 圆台体积为 C. 圆台的中截面（过圆台高的中点且平行底面的截面）面积为 D. 从点经过圆台的侧面到点的最短距离为 11. 如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，在旋转过程中，交于点，设为（其中），射线扫过的圆内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 函数的单调递增区间为 C. 函数图象的对称中心为 D. 函数在处的瞬时变化率最大 12. 已知数列满足，且对任意的正整数，都有，则下列说法正确的有（ ） A. B. 数列是等差数列 C. D. 当为奇数时， 三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为__________. 14. 在等差数列中，若，且数列的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是__________. 15. 已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是__________. 16. 已知函数的图象在轴上的截距为，且在区间上没有最值，则的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 记的内角的对边分别为.已知，点是边的中点， （1）证明：； （2）求. 18. 设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前99项和. 19. 如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接. （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的大小. 20. 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁． （1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于； （2）若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由． 21. 已知椭圆左焦点为，点到椭圆上的点的距离最小值是1，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设点是椭圆上关于轴对称两点，交椭圆于另一点，求的内切圆半径的范围. 22. 已知函数. （1）若.求证：； （2）若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值. 大联考长沙市一中2024届高三月考试卷（一） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）