3与圆有关的最值问题、范围问题讲义-2024届高三数学一轮复习

与圆有关的最值问题、范围问题 一、知识要点： 与圆有关的最值问题包含的情况 1.求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离： dmax =OP+r,dinin =OP-r 2.求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m,则d=m+r, dmin =mr 3.已知点的运动轨迹是x-+0-b}=r2,求@上：②y-m;③x2+y2;④(x.a}+0-b}等 X-1 式子的最值，一般是运用几何法求解. 二、题型： (一)圆上一点到圆外一点的最大距离、最小距离 1.已知圆O:(x-3)2+(y-4)2=1,P(x,y)为圆O上的动点，求d=x2+y2的最大、最小值 2.光线从A(1,0)出发经y轴反射后到达圆x2+y2-6x一6y+17=0所走过的最短路程为 (二)圆上的点到直线的最大距离、最小距离 1.圆x2+y2.4x.4y.10=0上的点到直线x+y.14=0的最大距离与最小距离的差是（) A.36 B.18 C.62 D.52 2.若P是圆C:(x+3)+(y-3)2=1上任一点，则点P到直线y=x-1距离的最大值() A.4B.6C.3V2+1D.1+10 (三)斜率的最大值、最小值 1.设点Px,y)是圆x2+y2=1是任一点，求M=y-2的取值范围 x+1 2.如果直线2a.x-by+14=0(a>0,b>0)和函数f(x)=m+1（m>0,m'1)的图象恒过同 一个定点，且该定点始终落在圆(x~a+1)?+0+b-2》=25的内部或圆上，则-}的取值范 a-1 围是() A.236 e34ù 832。 B.品0 83'2日 C. 84'38 D.e346 84'30 3.已知实数，满足y=9x,则1=y+3的取值范围是 x+1 4.已知圆O:x2+y2=1,直线：y=ax+2,在直线1上存在点M,过点M作圆O的两条切线 切点为A、B,且四边形OAMB为正方形，则实数a的取值范围是（) A.[L, B.（-￥-1E[山，+￥) c.∈11a 82'28 D.零￥.能 (四)弦长最大值、最小值 1.直线(m+1)x+my+m+3=0被圆x2+y2=25所截的弦长的最小值为. 2.已知圆的方程为x2+y2一6x一8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和 BD,则四边形ABCD的面积为() A.106B.206C.306D.406 3.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)求证不论m取什么实数，直线/与圆恒交于两点： (2)求直线被圆C截得的弦长最小时的1的方程. (五)切线长最大值、最小值 1.从点P(x,3)向圆(X+2)2+(y+2)2=1作切线，切线长度最短为() A.4B.26C.5D.112 2.过动点P作圆C:(x·3)2+(y·4)2=1的切线PQ,其中Q为切点，若PQ=P0(0为坐标原点)， 则PQ的最小值是 3.已知P(x,y)是直线k+y+4=0(k>0)上一动点，PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线 A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为() A.3 B.27 C.√2D.2 4.已知P(X,y)是直线G+y+4=0(k>0)上一动点，PA,PB是圆C:x2+y2.2y=0的两条切线， A.B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为() A.3 B.21 C.22D.2 2 (六)面积的最大值、最小值 1.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线1过定点A1,0). (1)若L与圆C相切，求1的方程： (2)若h与圆C相交于P、Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时值线h的方 程 2.已知圆O:x2+y2=1和定点A2,1,由圆外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且 满足PQ=|PA (1)求实数a,b间满足的等量关系式； (2)求D0QP面积的最小值；(3)求P0-PQ的最大值。 3.在平面直角坐标系xov中，已知圆C的圆心在x的正半轴上，半径为2，且与直线 x-√3y+2=0相切。 (1)求圆C的方程： (2)在圆C上，是否存在点M(m,),使得直线1：mx+y=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点 A、B,且DOAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的DOAB的面积；若不存在，请说 明理由。 (七)其它最值、范围问题： 1.已知对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P(x,y),不等式x+y+m30恒成立，求实数m的取值 范围， 2若圆C:x-3+0y-4=1上存在点P,使得mXC觉.C0=0,其中点M,0)、 N(亿，0)tiR),则t的最小值是() 、 A.7B.5C.4D.6 3.直线V=X+b与曲线x=1一y2有且仅有1个