湖南省湘潭钢铁集团有限公司第一子弟中学2024届高三8月开学考试数学试题

2023-2024学年湖南省湘潭市钢铁集团第一子弟中学高三（上）开学 数学试卷（8月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ） A. B. 为实数 C. D. 复数对应点位于第三象限 3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知函数对于任意的x∈满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 是圆上两个不同动点，直线恒过定点，若以为直径的圆过点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 9. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是4 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强 B. 若一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2 C. 若随机变量X服从正态分布，，则 D. 若，，，则 11. 已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 最小值为 C. 若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为 D. 设左焦点为，若的面积为，则 12. 若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）． A. 若，，，则 B. 若，则 C. 若，则的图像关于点对称 D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在展开式中，的系数是______（用数字作答）. 14. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 15. 若函数在上有且仅有四个零点，则的取值范围为______． 16. 在中，，，，点为边边上一动点，将沿着翻折，使得点到达，且平面平面，则当最小时，的长度为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知等差数列公差，其前项和为，若，，成等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求证：. 18. 在中，角所对的边分别为，__________． 在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，. （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 20. 新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立. （1）从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望； （2）（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和； （ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式. 21. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 22. 已知椭圆的