1.3.4直线方程的点法式 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版(2019)选择性必修一 第一章 直线与圆 1.3.4 直线方程的点法式 学习目标与核心素养 1.理解点法式方程的推导,并能明确其适用条件——逻辑推理 2.知道直线的点法式方程的内在联系和参数含义——逻辑推理 3.会求直线的点法式方程和其他形式的直线方程——数学运算 4.能利用直线的方程解决一些相关实际问题——数学运算 名称 已知条件 直线方程 适用范围 已知直线l上两点A(x1,y1), B(x2,y2) 已知直线在轴上的横截距a和直线在轴上的纵截距b 一般式 由上述四种方程化简得来 所有直线 点斜式 斜率存在(直线不垂直于x轴) 斜截式 斜率存在(直线不垂直于x轴) 两点式 截距式 直线不垂直于x轴、y轴 直线不垂直于x轴、y轴,且不过原点 一、复习回顾 点和斜率 斜率, 在轴上的纵截距 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0) ①当直线与x轴垂直,经过点P(),直线方程为 ②当直线与轴垂直,经过点P(),直线方程为 特别 问题1:如图,已知直线过定点,直线的方向向量可以如何表示?什么是直线法向量?法向量与方向向量有何关系? 二、问题探究 p o y x 任取直线上任一点M,向量即为直线的方向向量. 与直线的方向向量垂直的向量成为法向量,通常用表示. 法向量与方向向量互相垂直,即 问题探究 问题2:这种垂直关系能转化为坐标运算吗? 已知点,设直线上任一点,则 又已知直线的一个法向量为 点法式 三、新知获取 1.直线的法向量 与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量. 2.直线方程的点法式 已知直线<m></m> 经过 <m></m> ,且它的一个法向量为 <m></m> , 称 <m></m> 为直线方程的点法式. 四、新知运用 例14 已知的三个顶点为别为 边上的高所在直线的方程. 例15 已知直线 <m></m> 与过点 <m></m> , <m></m> 的直线垂直,且过线段 <m></m> 的中点,点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ,点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ,求直线 <m></m> 的方程. [解析] 因为直线 <m></m> 与过点 <m></m> , <m></m> 的直线垂直, 所以直线 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> , 又因为点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ,点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ,所以 <m></m> 的中点坐标为 <m></m> , 则直线 <m></m> 方程的点法式为 <m></m> ,即直线 <m></m> 的方程为 <m></m> . 方法总结 要求直线方程的点法式,求出直线的法向量是解 题的关键. 五、课堂练习 1.若直线 过点 , ,则该直线方程的点法式为_. [解析] 因为直线 <m></m> 过点 <m></m> , <m></m> ,且 <m></m> , 所以直线 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> , 所以该直线方程的点法式为 <m></m> . 2.已知 <m></m> 的三个顶点分别是 <m></m> , <m></m> , <m></m> . 求 <m></m> 边上的高所在直线的方程; [解析] <m></m> , <m></m> , <m></m> 边上的高所在直线的一个法向量为 <m></m> ,又直线过点 <m></m> ,∴由直线方程的点法式得所求直线的方程为 <m></m> ,即 <m></m> . 3.直线方程 化成一般式为( @32@ ). A. B. C. D. C [解析] 直线方程 <m></m> 化成一般式为 <m></m> 4.若 表示的直线是 轴,则系数 , , 满足的条件是( @34@ ). A. B. C. 且 D. 且 D [解析] 因为 <m></m> 轴方程表示为 <m></m> ,所以 <m></m> , <m></m> , <m></m> 满足的条件为 <m></m> , <m></m> . 六、课堂小结: 1.直线方程的点法式 2.如何求直线的法向量 3.直线方程的互化 P15 练习3 七、作业布置: $$