第1章 1.3 第2课时 直线方程的一般式和直线方程的点法式（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第2课时　直线方程的一般式和直线方程的点法式 学习目标 素养要求 1.理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系． 2.能根据所给条件求直线的方程，并能在几种形式间相互转化． 3.理解直线方程的点法式，并能灵活应用． 1.通过直线方程的一般式、点法式的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.在求直线方程的过程中提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　直线方程的一般式 [问题1]　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？ 答：能．_ [问题2]　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 答：可以． [问题3]　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？ 答：一定． ►知识填空 直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)斜率：当B≠0时，直线的斜率为－，在y轴上的截距－，当B＝0时，这条直线垂直于x轴，不存在斜率． 知识点二　直线方程的点法式 [问题1]　给定直线l的法向量唯一吗？ 答：不唯一 [问题2]　直线l经过点P(1，2)，且它的一个法向量为n＝(3，4)，如何求直线l的方程呢？ 答：设l上任意一点M(x，y)，则⊥n，故3(x－1)＋4(y－2)＝0为所求的直线方程． ►知识填空 1．直线的法向量 与方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向． 2．直线方程的点法式 若直线l经过点P(x0，y0)，且一个法向量为n＝(A，B)，则直线l的方程的点法式为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式.(　　) (3)直线经过点(x0，y0)且一个方向向量为r＝(A，B)，则该直线的方程式为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．直线＋＝1化为一般式方程为(　　) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案：C 3．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　　　　　　　B．60° C．150° D．120° 解析：选C　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 4．若直线l经过点P(－2，－1)且一个法向量为n＝(6，8)，则直线l的一般式方程为________． 答案：3x＋4y＋10＝0 题型一　求直线方程的一般式、点法式 [例 1]　根据下列条件求解直线的一般式方程． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过点A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (5)直线l经过点A(1，－2)且与P1(－1，0)，P2(3，2)两点的连线垂直． 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由两点式，得直线方程为 ＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (5)直线l的一个法向量＝(4，2)，由直线方程的点法式得4(x－1)＋2(y＋2)＝0，即一般式方程为2x＋y＝0. 直线方程互化的几个关注点 (1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问题时，把直线的一般式化成其他形式． (2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式的方程，再化为一般式．　　 　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率为3，且经过点A(1，2)； (2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴； (3)斜率为－2，在y轴上的截距为3； (4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴； (5)经过点(1，2)与直线x＋2y＝0垂直． 解：(1)由点斜式方程得y－2＝3(x－1)，整理得3x－y－1＝0. (2)x＝－3，即x＋3＝0. (3)y＝－2x＋3，即2x＋y－3＝0. (4)y＝3，即y－3＝0. (5)由x＋2y＝0得y＝－x，即该直线的斜率为k＝－，即一个方向向量r＝为所求直线的一个法向量，故所求直线方程为1×(x－1)－(y－2)＝0，即2x－y＝0. 题型二　直线方程一般式的应用 [例 2]　(1)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　) A．m≠0 B．m≠－ C．m≠1 D．m≠1，m≠－，m≠0 (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. ①已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； ②已知直线l的斜率为1，求m的值． 解：(1)选C　因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0，不能同时成立，解得m≠1.选C. (2)①令y＝0，则x＝， 所以＝－3， 得m＝－或m＝3(舍去).所以m＝－. ②由直线l化为斜截式方程得 y＝x＋， 则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去). 所以m＝－2. 已知含参数的方程求参数的值或 范围的步骤 　　 设直线l的方程为x＋(a－1)y－2－a＝0，若直线l不过第三象限，则实数a的取值范围是________． 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3.该直线不过第三角限，符合； ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a＞1.由①②可知a≥1. 答案：[1，＋∞) [课堂小结] 1．直线方程的一般式与其他形式间的转化，比如Ax＋By＋C＝0化斜截式要注意讨论B≠0和B＝0两种情况． 2．直线方程的点法式是向量数量积的应用，不必讨论斜率的存在问题，但要明确直线的一个法向量 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$