7.3 解三角形 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

专题7.3 解三角形 1.正弦定理、余弦定理 在中，若角所对的边分别是，为外接圆半径， 定理 正弦定理 余弦定理 公式 常见变形 ① ② ③ 3.三角形面积公式 (是三角形内切圆的半径)， 4.测量中的常用术语 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). (2)方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 叫作方位角.如点的方位角为(如图2). (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)(如图)，. ①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． ②北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． (4)坡度(坡比)：坡面与水平面所成的二面角的正切值.即(为坡比,为坡角) 解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解. 1.三角形中的三角函数关系 (1)；(2)；(3)；(4)； ⑸斜三角形中： 2.三角形中的射影定理 在中，，，. (此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理) 3.在中，已知和时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 无解 4.边之间的关系 (1)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (2)大边对大角，即； (3)设，若，则为钝角三角形； 若，则为直角三角形； 若，则为锐角三角形. 5.在中，平分,交于点,则. 1.【人教A版必修二 6.4.3 例8 P47】中，已知下列条件：①；②；③；④其中满足上述条件的三角形有两解的是(    ) A.①④ B.①② C. ①②③ D. ③④  2.【人教A版必修二 习6.4.3 练习1 P52】海中有一岛，周围海里内有一暗礁。一船由西向东航行，在处观察到这岛在北偏东，航行海里后，观察到这岛在北偏东。若该船不改变航向继续前进，则有无触礁危险？若有触礁危险，则从处出发时应沿东偏南大于多少弧度的方向前进，才不至于触礁？ 考点一 判断三角形的形状 【方法储备】 1.判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系，注意； (2)化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 注意： ⑴无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能. ⑵注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 2.常用结论 为直角三角形或或. 为锐角三角形或或. 为钝角三角形或或. 若，则或=. 【典例精讲】 例1.(2023·陕西省西安市模拟) 某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝视为三条线段，经测量，其长度分别为，，，现要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，则(    ) A. 能作出一个锐角三角形 B. 能作出一个直角三角形 C. 能作出一个钝角三角形 D. 不能作出这样的三角形 例2.( 2023·天津市市辖区期中) 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的形状为(    ) A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【拓展提升】 练1-1(2023·湖北省武汉市期中)（多选） 已知的内角，，所对的边分别为，，，下面结论正确的是(    ) A. 若，则一定是等边三角形； B. 若，则一定是等腰三角形； C. 若，则一定是等腰三角形； D. 若，则一定是锐角三角形． 练1-2(2023·河南省开封市期中)（多选） 三角形中，角，，的对边分别为，，，下列条件能判断是钝角三角形的有(    ) A. ，， B. C. D. 考点二 利用正、余弦定理解三角形 【方法储备】 1.已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量：在中，角所对的边为, ⑴已知两角和一角的对边：即已知角及边求出； ⑵已知两边和一边的对角：即已知边及角求出； 求出，角在内可取锐角和钝角，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行取舍. ⑶已知两边和它们的夹角：即已知边及角求出； ⑷已知三边求各个角：即已知边. 2.与三角形面积有关的基本量计算解题策略： ⑴利用正、余弦定理解三角形，求出相关的边角后，选择合适的面积公式求解； ⑵把面积作为已知条件，与正、余弦定理结合求出三角形的其他量. 3.与三角形边长有关的问题 已知三角形的一边,利用正、余弦定理分别求其他两边长,或者用整体思想求另外两边的和,即可求得周长. 【典例精讲】  例3.( 2022·