2023年中国数学奥林匹克国家集训队第二轮选拔考试试题

2023 年国家集训队第二轮选拔考试试题 I. 试 题 13. 是否存在正无理数x, 使得至多存在有限个正整数 n, 满足对任意整数 1 ≤ k ≤ n, 都有 ? 14. 对非空有限实数集 B 和实数 x, 定义 (1) 给定正整数 m. 求最小的实数 λ, 使得对任意正整数 n 和任意实数 都存在 m 元实数集 B, 满足 (2) 设 m 是正整数, ε 是正实数. 求证: 存在正整数 n 和非负实数 x1, x2, · · · , xn, 满足对任意 m 元实数集 B, 都有 15. 对凸四边形 ABCD, 称其内部一点 P 为平衡的, 如果: (1) P 不在 AC, BD 上; (2) 设 AP, BP, CP, DP 分别交 ABCD 的边界于点A′,B′,C′,D′ 则 AP·PA′=BP·PB′=CP·PC′=DP·PD′ 求平衡点数目的最大可能值. 16. 如图, 圆 两两外切, 且均与直线 l 相切. 设 切于点 B1, 切于点 B2 切于点 分别与 l 切于点 A, A1, A2, 其中 A 在线段 A1A2 上. 设直线 A1C, A2B2 交于点 D1, 直线 A2C, A1B1 交于点 D2 . 求证: 17. 是否存在两两不同的整数 a1, a2, · · · , 同时满足: (1) 对任意正整数 且 (2) 对任意正整数 n, ? 18. 求最大的实数 λ, 使得对任意一个 100 阶双随机矩阵, 总可以从中选出150 个元素, 并将其余 9850 个元素都改为 0, 满足此时每行元素之和与每列元素之和都不小于 λ . 注: 一个 n 阶双随机矩阵是一个 n × n 的方阵, 所有元素均为非负实数, 且每 行元素之和与每列元素之和均为 1. 19. 设 A, B 是单位圆 上的两个定点,满足 P 是 上的一个动点,满足 是锐角三角形且 AP > AB > BP . 设 的垂心为H, S 是劣弧 上的一点, 满足 SH = AH . T 是劣弧 上的一点, 满足 . 设直线 ST, BP 交于点 Q . 求证: 以 HQ 为直径的圆经过一个定点. 20. 设整数 a, b, d 满足 . 设 f (x) 是次数为 d 的实系数多项式, 对每个正整数 n, 用 rn 表示 模 b 的余数. 求证: 若 {rn} 最终周期, 则 f (x) 的系数都是有理数. 21. 给定整数 n ≥ 2 . 求最小的实数 λ, 使得对任意实数 及 b,均 有 22. 求所有的函数 使得对任意整数 a, b, c, 均有 23. 设 p 是质数, 实数 正整数 . S, T 分别是由 s, t 个连 续正整数构成的集合 满足 求证: 存在整数 a, b, 满足 , 且 24. 设 n 是正整数. 初始时, 一个 2n × 2n 的方格表中有 k 个黑格, 其余为白 格. 允许进行如下两种操作: (1) 若一个 2 × 2 正方形中恰有 3 个黑格, 则可以将第 4 个也变为格; (2) 若一个 2 × 2 正方形中恰有 2 个黑格, 则可以将其中的黑格变为白格、白 格变为黑格. 求最小的正整数 k, 使得有限次操作后所有格都是黑格. $$Ⅱ.解答与评注 13.是否存在正无理数无，使得至多存在有限个正整数，满足对任意整数 1≤k≤n,都有{r}≥本？ 解不存在 考虑数列{x},{2x},…中，称某项{kx}是极小的，如果它比前面的项都小（由 于x是无理数，这些项两两不同) 设数列中所有极小的项{ax},i=1,2,·,其中a1<2<·.注意{nx} (n∈Z+)在(0,1)上稠密，所以极小项有无穷多个 任取i≥2.我们来说明n=a:-1满足题目中的要求， 由于极小项的定义，只需说明{a-1x}≥ 考虑 {a-1ax}≤a-1{ax}<a4-1{a-1x}<a:{a;-1x} 结合a:∈Z就说明{a:-1x}≥.于是满足题目要求的n必定无穷多个. ▣ 评注本题是一道较为简单的关于小数部分的题目.本题做法多样，但都需要 取出数列的极小项，并且这里给出的证明是最筒单的一个.尽管解答如此简短，不 过存在与不存在之间的“循环”也卡住了部分同学 14.对非空有限实数集B和实数x,定义 dB(x)=min x-b. DER (1)给定正整数m.求最小的实数入，使得对任意正整数n和任意实数 3 x1,2,·,xn∈0,1，都存在m元实数集B,满足 dB(x1)+dB(x2)+·+dB(xn)≤λn (②)设m是正整数，e是正实数，求证：存在正整数n和非负实数1,2，·，xm 满足对任意m元实数集B,都有 dB(r)+dB(x2)++dB