数列放缩解答题训练-2024届高三数学一轮复习

数列放缩训练 l.已知数列{am}的通项为a,前n项和为S,且am是S,与2的等差中项，数列{bn}中， b1=1,点P(bm,b1)在直线x-y+2=0上， (1)求数列{am}、{bn}的通项公式： (2求L2的和： al a2 an (3)设数列bm的前n项和为Bn试比较1+。++1与2的大小 B1 B2 Bn 方+ 2.已知nEN且n>1,用放缩法证明：1+1+1 3.已知数列{am}和bm}满足a1=1,b1=0,4am+1=3am-bm+4,4bt1=3bn-a-4. (1)求{am}的通项公式 (2》我们知道，对之的放缩需因题制宜，知之<，)。(>2)： n n2 n (n-1)n-1 n 1<1 1 11-1)(n>2) n2-1(n-1)(n+1)2n-in+1 a除”减明h包号 1<4 4.已知数列{am}满足a1=2,a+1= 2an-1 an (1)证明：数列1，】是等差数列： an-1 1 (2)令bm= 一，证明：b12+b22++bn2<1. ala2an 5已咖三个减好分"字号"京立号字守京子 (1)照此规律，写出第n个不等式： (2)用数学归纳法和放缩法两种方法证明. 6.已知数列{am}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列bm}是公比大于0的等 比数列，b1=4,b3-b2=48. (1)求数列{am}和bm}的通项公式： (2)记cn-bn 1 一，nEN* ()证明：{c层是等比数列： n (i)证明： akaktl<22 (nEN*). 2 k=1ck-cak .学习资料：有一正项数列d,若作商马1号，测当m≥1时，1≤d,当n dn 2'n+1 ≥2时，d1≤名4，这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列，=3，dg 2a,=3引，0的前n项和为Sn,n=3训，C=，C,J的前n项和为7 3 (1)求Sm: @果面号 8.设A(,f(),B(()是函数f(x)=号+lg2(名)的图象上的任意两 2 1-x 点. (1)当x1+x2=1时，求∫(x)+f(x2)的值： 2)股f品品+rf册英e.求 n+1 n+1 Sn: (3)对应(2)中S,已知a,=(。1,)2,其中nEN,设n为数列{an的前n项 Sn+1 和，求证号<1<号 9.已知an=√1×2+√2×3√3X4+n(n+1)(nEN),用放缩法证明：n(n+1) 2 <an<n(n2).(提示：√n(n+1)>n且Vn(+1)<n+(nt1) 2 2 10.已知数列{am}中，Sm是其前n项的和，5S2=11S1, am1=2-an+1' (1)求a4,a2的值，并证明1-1)是等比数列： ,0 2证明：n-1+<Sn<n72 1,1 参考答案 1,【解答】解：(1)由题意可得2am=Sm2, 当n=1时，a1=2, 当n≥2时，有2an-1=m-1+2,两式相减，整理得an=2am-1 即数列{am}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2”. 由点P(bm,bm+1)在直线x-y+2=0上，得出bn-b+1+2=0,即bH1-bn=2, 即数列bm}是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此bn=2n-1: (2)由(1)可知n-2-1 an 2nt1 记T= al a2 an 是0 2n 6m=++5+42的 222324 2t1 0-②得1m=111242.2如-1 22223232n21 b1b2+bn=3-12m- al a2 an 2-2 2n (3):Bm=1+3+5++(21-1)=n2 1t1t1 B1 B2 Bn 122232 2 n <1+,1+1 1 1×22×3 (n-1)×n =1+1-1+1-141.1 223n-1n =2-1<2 n 2.【解答】证明：：√n+Wn-1>√n, 1>1=Wn-Wn-1 √n√nWn-1 左边>1-0+W2-1+Wh-√n-1=√h, 3.【解答】解：(1)数列an}和bn}满足a1=1,b1=0,4a1=3am-bm+4,①4b= 3bm-an-4.② 由①+②得： 所以4(on1tb）=2(o,h,.整理得n地1-号（常数). an+bn 2 所以数列{a+bm}是以a1+b1=1为首项， 上为公比的等比数列。 所以an+b。(分)r1@, 同理①-②得(an+1-bH1)=(am-bn)+2, 即(am1-bm1)-(a,-bn)=2(常数)， 所以数列{an-bm}是以a1-b1=1为首项，2位公差的等差数列. 所以au-bn=2n-1.④ ®*0将2a.=(2m-1)+(分) 所以2+)” 证明：(2》由于数列a的前n项和为所以S。号(1+3+…+2-1)+ 20 2+1-()n _n 、一之+1马2二+)一、 2 2 则。1 2 2