4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 良渚遗址 情景导入 考古学家利用遗址中 遗存物碳14的残留量 测定,古城存在时期为 公元前3300年~前2500 年,你知道考古学家在 测定遗址年代时用了 什么数学知识吗? 指数函数 情景导入 整数指数幂 有理指数幂 无理指数幂 指数 指数函数 对数 对数函数 函数的应用 定义 运算性质 定义 运算性质 定义 图象和性质 定义 图象和性质 章节框架 4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1 指数 正整数指数幂: 负整数指数幂 ,其中a 零指数幂:1 ,其中a 复习回顾 (1) ; (2) ; (3) . 正整数指数幂的运算性质: 复习回顾 在学习幂函数时,我们把正方形的边长c关于面积s的函数 记作 c= 像这样以分数为指数的幂,其意义是什么呢? 为此,我们需要学习根式的有关知识 问题引入 n次方根的概念 在初中我们学习过,如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 例如±2就是4的平方根。 如果x3=a,那么x叫做a的立方根.如(-3)3=-27,-3就是-27的立方根。 类似地,(±2)4=16,则±2叫做16的4次方根;25=32, 则2叫做32的5次方根。 问题1:初中里学的平方根和立方根分别是如何定义的? 定义: 一般地,如果 , 其中, n>1,且n∈N* 那么 x 叫做 a 的n次方根, 新知探究 n次方根的性质 【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数. 这时,a的n次方根用符号 表示.例如 负数没有偶次方根. 【3】 0的任何次方根都是0.记作: 【2】 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.正的n次方 根用 表示,负的n次方根用 表示.两者也可以合并成 . 例如 新知探究 根式的概念 式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. 根据n次方根的意义,可得 =5 , 例如: 新知探究 如果n为奇数, 表示an的n次方根,所以 如果n为偶数, 表示an的正的n次方根,所以当 ,这个方根等于a,当a<0时,这个方根等于-a, 【探究】 一定成立吗? 新知探究 例1 求下列各式的值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 解:(1) (2) (3) (4) 注意符号 典例分析 根式化简或求值的注意点: 解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根 式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值. 章节框架 解:根据根式的意义进行求解. 1. 2. 3. 求下列各式的值 1. ; 2 . ; 3. . 变式练习 根据n次方根的定义和运算,我们知道 也就是说,当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时,根式可以表示成分数指数幂的形式. 分数指数幂的意义 新知探究 【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢? 把根式表示为分数指数幂的形式时,例如把 写成下列形式: , 我们希望整数指数幂的运算性质,如: ,对分数指数幂 同样适用. 新知探究 由此,我们规定,正数的正分数指数幂的意义是: 于是,在条件 下,根式都可以写成分数 指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿. 我们规定, 例如, 我们再规定,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义. 新知探究 规定了分数指数幂的意义以后,幂x的取值范围 从整数拓展到了有理数,整数指数幂的运算性质对于有理 指数幂也同样适用。 新知探究 有理数指数幂的运算性质 注意: a<0,b<0 时运算 法则不一定成立. 新知探究 例2 求值: 解: 典例分析 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0): 分析:根据分数指数幂和根式的关系,以及有理数指数幂的运算法则解决. 解: 典例分析 例4.计算下列各式(式中字母都是正数): 分析:根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的意义求解. 解: 熟记运算性质 典例分析 解: 熟记运算性质 (3) 典例分析 课本107页第1、2、3题 课堂练习 1.分数指数幂是根据根式的意义引入的,正数的正分数指数幂的意义是 ,正数的负分数指数幂的意义是 ,零的正分数指数幂是零,负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的运算法则是: 课堂小结 谢谢观看 $$