专题7.2 平面向量数量积及应用讲义-2024届高考数学一轮复习

专题7.2 平面向量数量积及应用 1.平面向量数量积的有关概念 ⑴向量的夹角 定义 范围 共线与垂直 图示 已知两个非零向量和,作,,则叫做向量与的夹角． 或; 向量夹角：共起点 ⑵平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积,记作. 即. 特殊情况 运算律 （交换律）;（结合律）;（分配律） 数量积的有关结论 ； 【重要结论】 ⑴平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. ⑵数量积不满足结合律，即不一定成立，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于. ⑶非零向量夹角为锐角（或钝角），即当且仅当且（或，且. ⑶ 投影向量 如图，设是两个非零向量,,,考虑如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为、,得到,称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 若向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为 4.平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量，的夹角为. 几何表示 坐标表示 数量积 夹角 模 垂直 共线 不等关系 共线时等号成立 1.【人教A版必修二 习题6.2 第21题 P24】已知中，，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D.  2.【人教A版必修二 习题6.2 第24题 P24】如图，的外接圆的圆心为，，，，则          ． 考点一 平面向量数量积的运算 【方法储备】 1.平面向量数量积的运算方法 ⑴定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 ()． ⑵基向量法：选取基底向量，已知基底向量的模长和夹角；则，，即，转化为基向量的数量积． ⑶坐标法：建立适当的坐标系，求出与的坐标，即，则. 2.已知数量积求参数 已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数. 3.用向量解决平面几何问题的思路 ⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ⑵通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系． 【典例精讲】 例1.(2023·湖南省长沙市期末) 设平面向量，，且，则(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·浙江省金华市期中) 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例3.(2023·浙江省温州市月考) 如图，在菱形中，，，，分别为，上的点，，，若线段上存在一点，使得，则          ，          ． 例4.(2023·江苏省南通市模拟) 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2022·江苏省无锡市月考) 在平面直角坐标系中，已知，长度为的线段的端点分别落在轴和 轴上，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2023·四川省成都市月考) 如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2023·安徽省名校联考) 已知椭圆：，为坐标原点，、、是椭圆上三个点，满足且的面积为，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 考点二 平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题 【方法储备】 1.平面向量模问题 ⑴求向量模： ①若向量是以坐标形式出现的，即，则； ②若，则 . ⑵求向量模的最值(范围)的方法 ①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． ②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 2.平面向量夹角问题 ⑴求平面向量的夹角 ①定义法：当是非坐标形式时，需求出及或得出它们之间的关系，由求得． ②公式法：已知非零向量，则 . ⑵已知向量夹角为锐角或钝角，求参数 ①向量的夹角为锐角且向量不共线（同向）． ②向量的夹角为钝角且向量不共线． 注意：⑴两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． ⑵在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 3.向量的垂直、共线问题 (1)已知非零向量；规定：零向量与任一向量的数量积为O. 已知, ,若，则. (2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧. 【典例精讲】  例5.(2022·重庆市市辖区月考)（多选）若平面