专题7.1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 讲义——2024届高考数学一轮复习讲义

专题7.1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量； 向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量； 向量的模式数量 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 零向量 长度为0的向量；记作其方向是任意的 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，平行向量也叫做共线向量 与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 【重要结论】 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． (5)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行； (6) 对于任意非零向量，是与同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求向量与和的运算 交换律: 结合律: 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数与向量的积的运算 ① ②当时,与的方向相同;当时,与的方向相反； 当时, ① ② ③ 【重要结论】 ⑴加法运算的推广： ； ⑵向量三角不等式：， 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立； 两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形). 3.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数,使得，即 4.平面向量基本定理 ⑴定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， 使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 结论： ①设， ()，且,不共线，若，则且. ②若与不共线，且，则. ⑵平面向量基本定理的推论 ① 已知平面上点是直线外一点，是直线上给定的两点，则平面内任意一点在直线上的充要条件是：存在实数，使得， 特别地，当时，点是线段的中点. ② 三点共线，O为直线外一点⇔ 存在唯一的一对实数，使得，且. 5.平面向量的坐标运算 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. (2) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，，则. (3)向量加法、减法、数乘及数量积的坐标表示 设 ，， 则，，， ;.. (4)平面向量共线的坐标表示 设 ，，其中.共线. 【重要结论】 1.不共线的两个向量可作为一组基底,基底可以有无穷多组;不能作为基底；基底一旦确定,分解方式唯一; 2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系，两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 3.定比分点公式 (1)向量形式：设为一边上一点,设则； (2)坐标形式：已知两点，,在两点连线上有一点,且 . 4.已知的顶点，，，则线段AB的中点坐标为，的重心坐标为. 1.【人教A版必修二 习题6.2 第18题 P24】已知，为两个非零向量，且，，． 1求与的夹角 2求 2.【人教A版必修二 6.3.4 例9 P34】已知点，，点在直线上，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. 或 D. 或 考点一 平面向量的基本概念 【方法储备】 解决向量的概念问题要注意的点： 1.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定，但方向不确定. 2.有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件. 3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 4.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模可以比较大小. 【典例精讲】 例1.(2023·河南省商丘市月考)（多选）下列叙述中错误的是(    ) A. 若，则 B. 已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省南通市月考)（多选） 有下列说法其中正确的说法为 A. 若，，则： B. 若，，分别表示，的面积，则； C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向； D. 若，则存在唯一实数使得 练1-2(2022·湖南省长沙市模拟) 已知，为两个非零向量，有以下命题： ①且其中可以作为的