专题6.5 数列的综合应用 讲义——-2024届高考数学一轮复习

专题6.5 数列的综合应用 1.数列与函数的综合 数列是一种特殊的函数，它的图象是一些孤立的点，此类问题大部分要归于对函数性质的研究，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想求解. 2.数列与不等式 判断数列中的不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应的函数的单调性比较大小；数列中的恒成立问题，可转化为函数求最值问题解决；数列中的不等式证明问题，可构造函数进行证明，或者采用放缩法进行证明. 3.数列在实际应用中的常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系. 1.【人教A版选择性必修二 4.2.2 练习5 P24】记不超过的最大整数为，如，已知数列的通项公式，设数列的前项和为，则使的正整数的最大值为(    ) A. B. C. D. 2.【人教A版选择性必修二 4.3.1 例4 P31】习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到年中国的汽车总销量将达到万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台元，第一年每台设备的维修保养费用为元，以后每年增加元，每台充电桩每年可给公司收益元． 每台充电桩第几年开始获利？ 每台充电桩在第几年时，年平均利润最大． 考点一 数列与函数、不等式的交汇 【方法储备】 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． 1.数列与函数的综合问题： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. 2.数列与不等式的综合问题： 1.函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不等式. 2. 比较法：作差或者作商进行比较. 3. 放缩法：一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”. 4.数列中不等式恒成立问题：数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解. 【典例精讲】 例1.(2023·重庆市期末) 已知数列满足，，若对任意的正整数，恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 例2.(2022·湖北省荆州市模拟) 已知数列满足：，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则数列是单调递减数列 B. 若，则数列是单调递增数列 C. 时， D. 时， 例3.(2023·江苏省南京市期末) 设是数列的前项和，，则          若不等式对任意恒成立，则正数的最小值为          ． 【拓展提升】 练1-1(2023·浙江省杭州市月考) 已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练1-2(2022·湖南省长沙市月考) 已知函数． 求函数的最大值； 证明：． 考点二 数列的实际应用 【方法储备】 解答数列实际应用问题的步骤: 1.确定模型类型：理解题意，判断符合哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下： ⑴ 等差数列模型：均匀增加或者减少； ⑵ 等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题； ⑶ 简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出(常数)作为下年度的开销，即数列满足. 2.准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确． 3.给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点． 【典例精讲】  例4.(2023·湖北省孝感市模拟) 为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”个体户小王年月初向银行借了年期的免息贷款元，用于进货，因质优价廉，供不应求据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的，并且每月月底需扣除生活费元，余款作为