27.2.1.2探索三角形相似的条件讲义 2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.1.2探索三角形相似的条件讲义人教版九年级数学下册 层级要求： ④运用相似三角形的判定解决简单的问题 掌握 ③判定两个三角形相似的方法 理解 ②两个三角形相似的判定的探索过程 知道 ①转化思想在数学中的作用 基础知识详解 知识点一 利用三边对应成比例判定三角形相似 内容 叙述 文字语言 数学语言 几何图形 三边成比例的两个三角形相似。 如右图，在△ABC和△中， ∵， ∴△ABC∽△。 知识 详解 三边成比例的两个三角形相似这种判定方法是常用的方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可以判定这两个三角形相似。由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS”方法类似，只需要把“三边对应相等”改为“三边对应成比例”即可。 特别 提醒 在两个直角三角形中，若斜边的比等于一组直角边的比，则这两个直角三角形相似。 出题角度1 直接利用三边对应成比例判定两个三角形是否相似 例1.在△ABC和△A1B1C1中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm． 求证：△ABC∽△A1B1C1． 分析： 正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似． 证明：∵AB=6cm，BC=8cm，AC=11cm，A1B1=18cm，B1C1=24cm，A1C1=33cm， ∴=3． ∴△ABC∽△A1B1C1． 解题方法：判断三角形三边是否成比例的一般步骤： （1） 排：将三角形的边按大小顺序排列； （2） 算：分别计算它们对应边的比； （3） 判：由此是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例。 针对训练1．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，A′B′=18cm，B′C′=24cm，A′C′=30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似． 出题角度2 利用三边对应成比例判定格点三角形相似 例2. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 分析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似． 解：△ABC和△DEF相似． 由勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2， ∵=， ∴△ABC∽△DEF． 思维点拨：充分利用网格线的单位长度和勾股定理计算出两个三角形各边的长，然后看它们是否满足三边对应成比例，再判断两个三角形是否相似。　 针对训练2.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论． 知识点二 利用两边对应成比例及夹角相等判定三角形相似 内容 叙述 文字语言 数学语言 几何图形 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 如右图，在△ABC和△中， ∵， ∴△ABC∽△。 知识 详解 由两边和夹角判定三角形相似与判定三角形全等的“SAS”方法类似，只需要把“两边对应相等且夹角相等”改为“两边对应成比例及夹角相等”即可。两个条件缺一不可。 特别 提醒 利用该判定定理时，相等的角必须是已知两组对应边的夹角，否则两个三角形不一定相似。 出题角度1 直接利用两边对应成比例及夹角相等判定两个三角形相似 例3．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2=AC•AD． 求证：△ADB∽△ABC． 公共角 比例性质 分析：得到结论 ∠BAD=∠CAB = 由AB2=AC•AD 证明：∵AB2=AC•AD，∴=， 又∵∠BAD=∠CAB，∴△ADB∽△ABC． 解题方法：利用两边对应成比例及夹角相等判定两个三角形相似的方法：首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按照大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则这两个三角形相似，法则它们不相似。 针对训练3．如图，AD、BC相交于点E，且AE=54cm，ED=36cm，CE=30cm，BE=45cm，∠B=78°． （1）△AEB与△DEC相似吗？ （2）求∠C的度数． 出题角度2 添加条件构造两个三角形相似 例4．如图，在△ABC中，AB=12，AC=10，点D在AB上，且AD=4，在AC上取一点E，连结DE，使△ADE与原三角形相似．