专练1.3解三角形大题—“爪型”三角形讲义（一）—2024届新高考高三一轮专题复习

专题1.3—解三角形大题—“爪型”三角形（一） 解三角形中的“爪型”三角形模型在高考中多次考查，这类问题会涉及到三角形的中线、角平分线、高线等，这些都是学生的薄弱点，其实在做题时，大家注意三角形中所加的线是分角的线（用面积和），还是分边成比例的线（用向量共线定理或两次余弦定理），就能解决大部分题，如果这些方法解决不了，我们还可以用正弦定理或者做辅助线。 典型例题 1． 在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为 　　． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且边上的中线，求的面积． 4．已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，角、、所对的边分别是、、，的面积为，____． （1）求角； （2）若，点在线段上，且与的面积比为，求的长． 6．在中，设角，，的对边长分别为，，． （1）若，，，求的周长； （2）若点是边上一点，且，，，求的长． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 8．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题： （1）求角的大小； （2）如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围． 专题1.3—解三角形大题—“爪型”三角形（一） 答案 1．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为 　　． 【解答】解：由题意得， 即， 得， 得， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为：9． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 【解答】解：（1）为中点，， 则， 过作，垂足为，如图所示： 中，，，，解得， ，， 故； （2）， ， ，， 则， ①， ，即②， 由①②解得， ， ，又， ． 3．已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且边上的中线，求的面积． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理，得， 所以． 所以． 又因为，所以．因为，所以． （2）因为， 所以，得； 又因为，所以， 所以． 4．已知在中，，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又，， 解得， 又，， ； （2）由（1）可知，， ， ， ，， 设边上的高为， 则， ， 解得， 即边上的高为6． 5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，角、、所对的边分别是、、，的面积为，____． （1）求角； （2）若，点在线段上，且与的面积比为，求的长． 【解答】解：（1）若选①，因为，由余弦定理及， 得， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 若选②，因为及正弦定理， 所以可得， 因为，所以，即， 而，可得， 所以，即． 若选③，因为，及正弦定理， 所以，即， 因为， 所以， 又， 所以． （2）在中，由余弦定理得， 因为，，， 所以，解得或（舍， 因为与面积比为， 所以，即， 所以， 在中，由余弦定理得：，即． 6．在中，设角，，的对边长分别为，，． （1）若，，，求的周长； （2）若点是边上一点，且，，，求的长． 【解答】解：（1）因为，， 所以． 由正弦定理，得， 所以． （2） 设，在三角形与三角形中，由余弦定理得： ，， 所以①，②， ①②得， 因为，所以，解得， 即的长为1． 7．在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【解答】解：（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又， 所以． （2）因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以， 解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为． 8．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题： （1）求角的大小； （2）如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围． 【解答】解：（1）若选①，因为， 由正弦定理可得，， 化简可得， 又因为， 则，故． 若选②，因为， 由正弦定理可得，， 且，则，且， 所以，其中， 所以，则． （2）由题意可得， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 则，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又因为为锐角三角形， 当为锐角，则