课时跟踪检测(55) 概率与统计的综合问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

4 / 5 课时跟踪检测（五十五）概率与统计的综合问题 1．2022年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表： 金额 分组 [1,5) [5,9) [9,13) [13,17) [17,21) [21,25] 频数 3 9 17 11 8 2 (1)求产生的手气红包的金额不小于9元的频率； (2)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率． ①若红包金额在区间[21,25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率； ②随机抽取手气红包金额在[1,5)∪[21,25]内的两名幸运者，设其红包金额分别为m，n，求事件“|m－n|＞16”的概率． 解：(1)由题意得，产生的手气红包的金额不小于9元的频率p＝＝. (2)手气红包在[1,5)内的频率为＝0.06， 手气红包在[5,9)内的频率为＝0.18， 手气红包在[9,13)内的频率为＝0.34， 手气红包在[13,17)内的频率为＝0.22， 手气红包在[17,21)内的频率为＝0.16， 手气红包在[21,25]内的频率为＝0.04， 则手气红包金额的平均数为：＝3×0.06＋7×0.18＋11×0.34＋15×0.22＋19×0.16＋23×0.04＝12.44. (3)①由题可知红包金额在区间[21,25]内有两人， ∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率P＝＝. ②由频率分布表可知，红包金额在[1,5)内有3人，设红包金额分别为a，b，c；在[21,25]内有2人，设红包金额分别为x，y， 若m，n均在[1,5)内，有3种情况：(a，b)，(a，c)，(b，c)； 若m，n均在[21,25]内，只有一种情况：(x，y)； 若m，n分别在[1,5)和[21,25)内，有6种情况， 即(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)， ∴基本事件总数为10. 而事件“|m－n|＞16”所包含的基本事件有6种， ∴P(|m－n|＞16)＝＝. 2．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品，曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中的锅碗瓢盆，喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆，婚嫁礼品等，它浓缩了20世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次为3,4,5,6,7,8，该公司交给生产水平不同的A和B两个厂生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示： (1)依据上图，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率； (2)下图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由． 解：(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A，B，C，等级系数为8的搪瓷水杯为a，b，c，则从中抽取2件的基本事件为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，所以所求概率P＝＝. (2)因为B＝(4＋6＋7＋8＋9)÷5＝6.8，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8， sB＝ ≈1.72， 所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72； 因为A＝(5＋6＋6.5＋7＋8)÷5＝6.5，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5， sA＝＝1， 所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1. 综上，B厂生产的搪瓷水杯的评分的均值较高；A厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定． 3．(2022·张家口模拟)某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图所示． (1)求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)． (2)小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长： 序号n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长m (单位：分钟) 10 15 12 20 30 25 35 ①根据数据求m关于n的线性回归方程； ②若m－≥4(是(1)中的平均值)，则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？ 附：在线性回归方程＝x＋中，＝，＝－. 解：(1)∵(0.005＋0.012＋a＋0.035＋0