课时跟踪检测(62) 不等式的证明（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（六十二) 不等式的证明 1.(1)设x≥1，y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y十： (2)设1<a≤b≤c, 证明：logb十Hogc十loga<loga十logb十log.c. 证明：()由于x≥1，y≥1， 要证x+y+1xy≤1x+1y+xy 只需证xc十)+1≤十x十(y)2, 即证y十x十()门一+)+刂 =)2-1-9rc+y)-(x+y] =(+1)y-1)-(c+y)9一1) =(-1)(y一x一y+1) =(y-1)x-100y-1)≥0. 因为x≥1，y≥1，所以y一1)x一1)0一1)≥0，从而所要证明的不等式成立. (2)设log b=x,logsc-=y,由对数的换底公式得loga=1xy,log=1x,logb=1y,logc -xV. 于是，所要证明的不等式即为x十y十1xy≤1x+1y十y,其中x=l0gb≥1，y=logc≥ 故由()可知所要证明的不等式成立. 2.已知函数f)=x-1f(12)+x+1f(12)),M为不等式x)2的解集. (1)求M: (2)证明：当a,beM时，a+b1+ab. 解：(1)fx)=-2x,x≤-M1211212). 当x≤-12时，由fx2,得一2x<2, 解得之一1，即一1<x≤-12： 当-12<x<12时，fx)2恒成立，即-12<x<12:当x≥12时，由fx2,得2x<2, 解得x<1,即12≤x<1. 所以x)2的解集M={x一1<x<1}. (2)证明：由(1)知，当a,b∈M时，-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1十ab)2=a2+ b2-a2b2-1=(a2-1)1-b)<0.因此a+b1≤1+abl 3.(1)已知x∈R,a=x2+12,b=2一x,c=x2-x十1，试证明a,b,c至少有一个不小 于1： (2)已知实数a>0,b>0,若a一b=2,求证：a3+b>8. 证明：()假设a,b,c均小于1， ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com● 您身边的互联网+敷辅专家 则a<1,b<1,c<1,则有a十b十c<3, 而a+b+c=2x2-2x+12+3=2\a\vs4\al\co1(x-\f(12))2+3≥3，两者矛盾，故假 设不成立，故a,b,c至少有一个不小于1. (2)a-b=2,.b=a-2,b>0,a>2, .a3+b-8=a3-8+a-2=(a-2)a2+2a+5), ,(a-2)(a+1)2+4>0, .a3+b>8. 4.已知函数x)=2x一1十x十1 (1)解不等式f)≤3： (2)记函数g()=fx+x+川的值域为M,若t∈M,证明：t2+1≥3t十3. 解：(1)依题意，得fx)=-3x,x≤-1,1212)， fx)≤3x≤-1，-3x≤3)或-1<x<f122-x≤3或x之y123x≤3，解得-1≤x≤1， 即不等式x)≤3的解集为x一1≤x≤1}. (2)证明：gx)=x)+r+1川=2x-1川+2x+2≥2x-1一2x-2=3,当且仅当(2x-1) (2x十2)≤0时取等号，.M=3,+四). 2+1-31-3t=t3-3t2+t-3t=t-3t2+1t, 1∈M,1-3≥0,2+1>0， .t-3t2+1t≥0，∴.2+1≥3t+3 5.函数x)=2x一2十2x+14 ()求函数y=)的最小值： (2)若(1)中x)的最小值为k,且实数a,b,c满足a+2b+4e=k.求证：a2+2ab+2b2+ c2≥12. 解：(1)当x≥1时，fx)=4r一1，fx)为单调递增函数，所以此时y=fx)的最小值为f (1)=3: 当-12<x<1时，fx)=3,所以此时y=fx)没有最大、最小值： 当x≤-12时，fx)=1一4r,f)为单羽递减函数，所以此时y=a\vs4\al\col(-\ f(12))=3为最小值， 综上，当一12≤x≤1时，y=fx)的最小值为3. (2)(1)知k=3, 所以a十2b十4c=3, 由柯西不等式可知 (a2+2ab+2b2+c212+12+49=[(a+b)2+b2+c2](12+12+4) ≥[a+b)×1+b×1+c×42=(a+2b+4c)2=9, ◆独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以a2+2ab+2b2+c2≥12alws4aco1(当且仅当a=0,b=M123)时等号成立. 6.设a,b,>0,且ab+bc+ca=1. 求证：(1)a+b+c≥3； (2)abc)+bac)+cab)>3(a++b+c). 证