课时跟踪检测(50) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时跟踪检测（五十)圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 1.已知椭圆Ex2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2)2.一顶点A坐标为(0，一22) (1)求椭圆E的标准方程： (2)已知M,N为椭圆上异干A的两点，且一1一直线MN是否过定点？若过定点 求出此点坐标， 解：(1)：椭圆E的离心率为2)2.b2a2)=2)2.又4A(0,-22).b2=8.a2=16, :椭圆E的标准方程为x216+y28=1. (2)当直线MN的斜率不存在时，不合题意，故直线MN的斜率存在.设直线MN的方 程为y=kx+m.Mx.h).Nx2.2).联立y=kx+m.x2+2y2=16.)得(1+2k2) x2+4kmx+2㎡-16=0.△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-16)=128k2+64-8m2>0. 为+为=-4km1+2k2.xx2=2m2-161+2k2.一=(x,h+22).一=(.2 +22).一.一=x+(kx+m+22k为+m+22)=(1+k2☒x为+km+22)(+x) +(m+22)2=2)m-81+2k2=0.解得m=-22或m=2)3.若直线MN的方程为y kx一22，则直线过定点(O,一22)，与A重合，不合题意：若直线MN的方程为y=kx+ 2)3.则直线过定点alvs4a小co1(o,f(2\r(2)3).综上所述，直线MN过定点1 alvs4al小co1(0,1f(2r(2)3)》 2.如图.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的张轴长为4.点A.B.C 为椭圆上的三个点，A为椭圆的右顶点，BC过中心O,且BC=2 ABI.SABC=3 (1)求椭圆的标准方程： (2)设P.Q是椭圆上位干直线AC同侧的两个动点（异干A,C,且满 足LPBC=∠QBA.试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定 值 解：(1)：|BC=2AB,·.S0AB=12S△ABc=32,又△AOB是等腰三角形，∴B avs4al小co1(1,1f32).把B点代入椭圆方程x24+y2b2=1.求得b2=3,:椭圆方 程为X24+y23=1. (2)由题易得直线BP、BQ的斜率均存在，又∠PBC=∠QBA,∴kgP=一kgQ证明：设直 线BP:y-32=k(x-1),代入椭圆方程x24+y23=1,化简得rc\)(avs4al小co1(3+ 4k2)x2-8 klalvs4a小co1(k-1f(32)》x+4k2-12k-3=0.其-解为1.另一解为x =4k2-12k-33+4k2.则yp=-12k2-6k3+4k2+32.将-k代入得xa=4k2+ 12k-33+4k2,yQ=-12k2+6k3+4k2+32.k0=yP-yQxP-xQ=12为定值. 3.已知直线y=x一2与抛物线y2=2pX相交干A,B两点，满足OA⊥OB.定点C (4,2).D(一4，O),M是抛物线上一动点.设直线CM.DM与抛物线的另一个交点分别是E, F 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com○ 您身边的互联网+敷辅专家 (1)求抛物线的方程： (2)求证：当点M在抛物线上运动时（点E,F总存在且不重合），直线EF恒过定点，并 求出这个定点的坐标， 解：(1)设A(.),B(x2.y2).将y=X一2代入y2=2px,得(x-2)2=2Px,化简 得x2-(4+2p)x十4=0.△=4(p2+4p)>0.所以1为=4，X1+为=4+2p.因此yy2 =(X1一2)（为-2）=为为-2（十2）十4=一4P.因为O41OB.所以为2十h2=0.解得 p=1,所以抛物线的方程为y2=2x (2)证明：设点ME.F的坐标分别是avs4al八co10f(y022),y0.1 avs4al\co1(0fy322).y3),aws4alco1(0fy422).y4).由C,M,E三点共线. 得kew=kaM,则y3-y0y32y022=y0-2y022.整理可得，yo=2(yo+y3)-8.所以 =2y0-8y0-2.同理，由D.M,F三点共线，得y4=8y0,所以直线EF的方程为y-y3 =y4-y3y42y322(x-x3)=2y3+y4alvs4al小co1(x-1f(y322).整理可得y3y4=y (y3+y4)-2x将y3=2y0-8y0-2.y4=8y0代入直线EF的方程中，得(2x-2y)yo2+4 (4-x)y%+8(2y-8)=0,所以x-y=0,4-x=0.2y-8=0,解得x=y=4,所以直线 EF恒过定点(4,4). 4.已知椭圆Cx2a2+y2b2=1(a>b