课时跟踪检测(49) 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时跟踪检测（四十九)圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 1.已知O为坐标原点，椭圆C:x24十2=1，点D,M,N为C上的动点，且O,M, N三点共线，直线DM,DN的斜率分别为k1,k(kk2≠0) (1)证明：k1k2=-14: (②)当直线DM过点(1,0)时，求1|DN+192\r(1+k22)的最小值. 解：(1)证明：由题得，M,N关于原点对称，则可设D(:,),M(,2),则N(一， -一).因为点D,M在椭圆C上，所以x124+2=1,x224十2=1，即2=1-x124,片2 =1-x224,所以kk2=y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=y12-y22x12-x22=1 reMre\4)x12x22=-14. (2)设直线DM的方程为y=k(x-1),将其代入x24十y2=1可得，(1十4h)x2-8k12x十 42-4=0,4>0,所以x1+x2=8k121+4k12,因此DNM=1+k22x-(-x2=1+k22x1+ =1+k22)1+4k12.(1)得，kk=-14,所DN=1+k22)1+4k22.设t=1+k22∈(1， +o),则k2=2-1,则1DN|+192八r(1+k22)=4t2+162t=21+8t≥8，当且仅当1=2， 即2=±3时取等号.故1DN|+192r(1+k22)的最小值为8. 2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(心b>0)的离心率为3)2，F是其右焦点，直线y=x与椭 圆交于A,B两点，4F可+BF=8. (1)求椭圆的标准方程： (2)设Q3,0),若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围， 解：(1)设F1为椭圆的左焦点，连接FB,由椭圆的对称性可知，4可=FB,所以 AF+BF1=BFl+BF1=2a=8,所以a=4,又e=ca=3)2,a2=b2+c2,解得c=23,b= 2,所以椭圆的标准方程为x216十y24=1. 2)设点AK,w,B,,则一=k1-3,W,一一=2-3，)，联立224 =kx,得(4h2+1)2-16=0,所以1十x2=0,x2=一164k2十1，因为∠AQB为锐角，所 以一一.一>0，所以一.一一=1-32-3)+2=9-301十)十x2十02=9-31十 )+(1+k2xx2=9-161+k24k2+1>0,解得k>35)10或k<-35)10. 所以实数k的取值范围为1a\vs4alco1(-o,-1f(r(35)10)U\ avs4\al\co1(f(r(35)10),+o). 3.已知抛物线E:Jy2=2px(>0)的焦点为F,过点F作圆C:(x十2)2+y2=92的两条切 线4，，且1⊥2 (1)求抛物线E的方程； (2)过点F作直线1与E交于A,B两点，若A,B到直线3x十4y十20=0的距离分别为 山，山，求山十山的最小值 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)由题得，(x十2)2+y2=92的圆心为C(-2,0),半径r=2)2,12=2px(p>0)的焦 点为F\a\vs4\a1\col(f(p2),o).设两条切线l1,2与圆C的切点分别为M,N,则CM =CNM=r.又l1⊥2，MF=NF,∴.四边形CMFN为正方形，CF=2r=2×2)2=3, 则p2十2=3，解得卫=2，∴.抛物线E的方程为2=4x (2)由(1)知F(1,0).易得直线1的斜率不为0，则可设直线1的方程为x=m+1.联立y2 =4x,x=my十1，)得2一4一4=0,4>0，由根与系数的关系得y1y2=一4，y1十y2=4m,) .x十=m1十m十2=4m2+2.设As1,),B(:,2),设线段AB的中点为Q,则Q (2m2+1,2m).设点Q到直线3x+4十20=0的距离为d,可得d+4=2d,d=|3×2m2 +1+4×2m+20|5=|6m2+8m十23|5=rc6135,当m=-23时，d取得最小值6115， .d1十d的最小值为12215. 4.(2023成阳模拟)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，且经过A (02). (①)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P,Q,设PQ中点为M,求 三角形BOM(O为坐标原点面积的取值范围. 解：(1)双曲线的离心率为2，即ca=2, 因为点A(0,2)在双曲线y2a2一x2b2=1上， 所以4a2=1,a=2,则c=22, 又c2=a2+b2,所以b=2 所以双曲线C的方程为2一x2=4. (2)易知直线PQ的斜率不为0， 设直线P