课时跟踪检测(17) 利用导数研究函数的零点问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共3页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（十七利用导数研究函数的零点问题 1.己知函数f)=kx一Inx(心0) (1)若k=1,求fx)的单渊区间； 2)若函数x)有且只有一个零点，求实数k的值。 解：(1)若k=1,则fx)=x-lnx,定义域为0，+o,则fx)=1一1x,由f(x>0,得 1:由fw)<0,得0s<1, fx)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为1，十∞). (2)fx)=kx-lnx,fx)=k-1x=kx-1x>0,k>0).当0<1k时，fx)<0:当x >1k时，f>0..fw)在\a\vs4\al\col(0,\f(1k))上单谓递减，在 a\vs4\al\co1(f(1k),+o)上单调递增，f)mi=fa\vs4\al\col(f(1k)=1-ln 1k,x)有且只有一个零点，∴1-n1k=0,即k=1e 2.已知函数fx)=x3+x2+ax十b. (①)当a=一1时，求函数f)的单调递增区间： (2)若函数f)的图象与直线y=ax恰有两个不同的交点，求实数b的值 解：（当a=-1时，f9=x3+x2-x十b,则fPx)=3x2+2x-1,由f(x少0，得x<-1 或>13，所以函数f)的单调递增区间为一o,一1)和a\vs4\al\co1(f(13),+∞). 2)函数fx)的图象与直线y=ax恰有两个不同的交点，等价于fx)一ax=0有两个不等 的实根.令gx)=fx)一ax=x3+x2十b,则g'(s)=3x2十2x.由g'(x>0,得x<-23或x>0; 由g'(x)<0,得-23<r<0.所以函数g)在\a\vs4\al\col(-o,-1f(23)和(0，+∞)上单 递增，在1a\vs4\al\co1(-\f(23),0)上单调递减. 所以当x=-23时，函数g(x)取得极大值g\avs4\al\co1(-\f(23))=427+b:当x =0时，函数gx)取得极小值为g(0)=b.要满足题意，则需g\a\vs4\al\col(-1f(23)= 427+b=0或g(0)=b=0,所以b=一427或b=0, 3.(2020全国Ⅲ卷)设函数fx)=x3+bx十c,曲线y=fx)在点alvs4 anco1(f(Irc2))处 的切线与y轴垂直. (1)求b: (2)若fx)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f)所有零点的绝对值都不大于1. 解：(1)fw)=3x2+b.依题意得f八a\vs4\a1八co1(f(12))=0,即34+b=0.故b=-34. (2)证明：1)知fx)=x3-34r十c,f)=3x2-34令f(x)=0,解得x=-12或x=12. 当x变化时，f),x)的变化情况如下表： \a\vsA\al\col( as4alco1(- \a\vs4\al\col(\ -12 12 -∞，-1f(12) M112) f(12),+∞) 独家授权侵权必究 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f(x) 十 0 0 ) c+14 c-14 因为f)=八a\vs4\a1\co1(-1f(12)=c+14,所以当c<-14时，fw)只有大于1的 零点，因为f-1)=fa\vs4al\co1(f(12)=c-14,所以当心14时，)只有小于-1 的零点.由题设可知一14≤c≤14.当c=一14时，)只有两个零点-12和1：当c=14时， fx)只有两个零点-1和12：当一14<c<14时，f)有三个零点x1,x2,x,且x1∈\ a\vs4\al\col(-1,\f(12)),x2E lalys4lalcol(-(f(112),x3E\ a\vs4\al\co1(f(12),1).综上，若fx)有一个绝对值不大于1的零点，则x)所有零点的 绝对值都不大于1. 4.(2022·太原一模)已知函数fx)=cosx十xsinx. (1)讨论fx)在倒一2T,2T]上的单调性： (2)求函数g()=fx)一14x2-1的零点个数. 解：()因为f一x)=cos(一)一xsin(一x)=cosx十xsinx=f),x∈R, 所以)是R上的偶函数，也是一2T,2T]上的偶函数. 当x∈[0,2]时，fx)=xcos x, 令f(x20,得0s≤r2或3π22π， 令f(x)0,得I2x≤3I2, 所以fx在0,1f(r2))和f(3π2)，2)上单渊递增，在f(红3r2)上单调递减， 因为)是偶函数，所以当x∈[一2T,]时，x)在一2r,一\f(3I2)和一 「(2)，0)上单渊递减， 在-(3ππ2)上单调递增 综上所述，fx)在