课时跟踪检测(52) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（五十二)圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2)2，一顶点A坐标为0，一22. (①)求椭圆E的标准方程： )已知M,N为椭圆上异于A的两点，且一一⊥一一，直线MN是否过定点？若过定点， 求出此点坐标 解：(1)椭圆E的离心率为2)2，∴b2a2)=2)2,又A(0,-22,∴.b2=8,a2=16, ∴.椭圆E的标准方程为x216+y28=1. (2)当直线MN的斜率不存在时，不合题意，故直线MN的斜率存在.设直线MN的方 程为y=kx十m,Mx1,),N(2,2.联立y=kx十m,2+2y2=16,)得1+2kx2+4mx +2m2-16=0,4=(4km)2-41+2k22m2-10=128k2+64-8m20,x1+x2=-4km1+2k2, =2a2-161+2k2.一=，片+22，-一=，片+22，-一。一=6十1十m +22)k2十m+22)=(1+k3x12十k(m十22☑(c1+x2)+(m+22)2=2)m-81+2k2=0.解得m =-22或m=2)3.若直线MN的方程为y=x一22，则直线过定点(0，一22)，与A重合，不 合题意；若直线MN的方程为y=kx+2)3,则直线过定点a\vs4\al\col(O,\ f(2\r(2)3).综上所述，直线MN过定点a\vs4\al\co1(0,1f(2\r(2)3) 2.如图，椭圆x2a2十y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点A,B,C为椭 圆上的三个点，A为椭圆的右顶点，BC过中心O,山BC=24B1,S△4BC =3. (1)求椭圆的标准方程： (2)设P,Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A,C),且满足∠PBC=∠QBA, 试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值 解：(1)：BC1=24B,.S△a4s=12 SAABC=32,又△AOB是等腰三角形，B \a\vs4\a1co1(1,1f(32)),把B点代入椭圆方程x24+y2b2=1,求得b2=3,∴椭圆方 程为x24+y23=1. (2)由题易得直线BP,BQ的斜率均存在，又∠PBC=∠QBA,∴ksP=一k0证明：设直 线BP:y-32=kx-1),代入椭圆方程x24+y23=1,化简得\rc)(a\vs4\al\co1(3+4k2) x2-8k\a\vs4\a1\co1(k-1f(32)x+4h2-12k-3=0,其一解为1，另一解为xp=4k2- 12k-33+4k2,则p=-12k2-6k3+4k2+32.将-k代入得xo=4k2+12k-33+4k2,y'0 =-12k2+6k3+4k2+32,k%=yP-yQxP-xQ=12为定值. 3.己知直线y=x一2与抛物线2=2x相交于A,B两点，满足OA⊥OB,定点C (4,2),D(一4,0)，M是抛物线上一动点，设直线CM,DM与抛物线的另一个交点分别是E, F 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ()求抛物线的方程； (2)求证：当点M在抛物线上运动时（点E,F总存在且不重合），直线EF恒过定点，并 求出这个定点的坐标， 解：(1)设A1,),Bs2,),将y=x-2代入y2=2px,得c一2)2=2x,化简得x2 -(4+2px+4=0,4=402+4pP0,所以xx2=4,x1+x2=4+2印，因此2=(1-2) x2一2)=2一2x1十x2)+4=一4p.因为OA⊥OB,所以x2十=0，解得p=1,所以抛 物线的方程为y2=2x. (2)证明：设点M,E,F的坐标分别是avs4\al\col(f(y022),y0),\ avs4\al\co1(f(y322),y3),a\vs4\a1\co1(f(y422),y4).由C,M,E三点共线， 得k=kcm,则y3一J0y32022=0-2022,整理可得，3=20%十)-8，所以3= 2y0-8y0-2.同理，由D,M,F三点共线，得4=8y0,所以直线EF的方程为y一= 4-Jy42322c-3)=2y3+y4\a\vs4\al\co1(x-\f(y322),整理可得=0%十y) 一2x.将3=2y0-8y0-2,4=8y0代入直线EF的方程中，得(2x-2%2+4(4-x%十8 (2y一8=0，所以x一y=0,4一x=0,2y-8=0,解得x=y=4,所以直线EF恒过定点(4,4). 4.已知椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,直线2x十y-63 =0与直线M