课时跟踪检测(51) 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时跟踪检测（五十一) 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题 1.已知O为坐标原点.椭圆C:x24+y2=1.点D.M,N为C上的动点.且O,M, N三点共线.直线DM.DN的斜率分别为k1.k2(k1k2≠O). (1)证明：k1k2=-14: (2)当直线DM过点(1,0)时，求1DN+192r(1+k22)的最小值 解：(1)证明：由题得，M,N关干原点对称.则可设D(,),Mx2,y2),则N(一， -y2).因为点D.M在椭圆C上.所以x124+y2=1,x224+22=1,即y2=1-x124 y22=1-X224.所以k1k2=y1-y2x1-X2·y1+y2x1+x2=y12-y22x12-x22=\ rc\\rc\4)x12-x22=-14. (2)设直线DM的方程为y=k1(x一1)，将其代入x24+y2=1可得，(1+4k12)x2-8k12x +4k12-4=0.△>0.所以+x2=8k121+4k12.因此|DN=1+k22|x1-(-x21=1 +k22|为1+2=1+k22)1+4k12.由(1)得.k1k2=-14.所以DN=1+k22)1+4k22. 设t=1+k22∈(1，+∞)，则k22=2-1,则1|DN+192r(1+k22)=4t2+162t=2t +8t≥8，当且仅当t=2,即k2=±3时取等号.故1DN+192\(1十k22)的最小值为 g 2.已知椭圆X2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为3)2，F是其右焦点，直线y=kx 与椭圆交干A,B两点，|AF+|BF=8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设Q(3,0),若∠AQB为锐角，求实数k的取值范围. 解：(1)设F1为椭圆的左焦点，连接FB.由椭圆的对称性可知，|AF=FB,所以川 AF+|BF=|BFl+|BF=2a=8.所以a=4.又e=ca=3)2.a2=b2+c2.解得c=23. b=2.所以椭圆的标准方程为x216+y24=1, (2)设点A(x,).Bx2,y).则=(x1-3.y),一=(k-3.y2),联立 f(x2y24y=kx,得4k2+1)x2-16=0.所以x1+x2=0,X1X2=-164k2+1,因为∠AQB 为锐角，所以一.一>0.所以一.一=(x-3)(为-3)+2=9-3(x十为)十为1为十 h2=9-3(为+x2)+(1+k2②)x1=9-16(1+k2)4k2+1>0.解得k>35)10或k <-35)10. 所以实数k的取值范围为alvs4al小co1(-∞，一1f(0r(35)10)u1 alvs4\allcol(\f(\r(35)10).+) 3.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作圆C:(x十2)2+y2=92的两 条切线1,2，且h⊥2 (1)求抛物线E的方程： (2)过点F作直线I与E交干A,B两点，若A,B到值线3x+4y十20=0的距离分别 为d,d2,求d十d的最小值. 解：(1)由题得，(x+2)2+y2=92的圆心为C(-2.0).半径r=2)2,y2=2px ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (p>O)的焦点为月alvs4al小co1(fp2).0).设两条切线h.h与圆C的切点分别为M.N. 则ICM=|CN=r又h⊥h2,且M=|NF,∴四边形CMFN为正方形.CF=2r=2× 2)2=3,则p2+2=3.解得p=2,∴抛物线E的方程为y2=4x (2)由(1)知F(1,0).易得直线1的斜率不为0，则可设直线/的方程为x=my+1.联立 y2=4x,×=my+1,)得y2-4y-4=0.△>0，由根与系数的关系得y1y2=-4. y1+y2=4m,)为+为=m%+m+2=4m2+2.设A(,),B(,y2).设线段AB 的中点为Q,则Q(2m2+1,2m).设点Q到直线3x+4y+20=0的距离为d.可得d1+ d=2d.:d=|3×(2m2+1)+4×2m+2015=|6m2+8m+235=1rc\6135,当m= -23时.d取得最小值6115，d山1十d的最小值为12215. 4.(2023·咸阳模拟)已知双曲线C:y2a2-X2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.且 经过A(0,2) (1)求双曲线C的方程： (2)若过点B(2,O)的直线交双曲线C干x轴下方不同的两点P.Q.设PQ中点为M.求 三角形BOMO为坐标原点)面积的取值范围 解：(1)双曲线的离心率为2.即ca=2, 因为点A(0,2)在双曲线y2a2-X2b2=1上. 所以4a2=1,