课时跟踪检测(16) 导数在不等式中的应用（Word练习）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共3页 画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（十六）导数在不等式中的应用 1.设函数fx)=nx一x十1. (1)讨论fx)的单调性： (2)求证：当x∈(1，十o)时，1<x-11nx<x. 解：(1)fx)=1x一1(>0).由fx)>0,解得0<x<1;由fx)<0,解得>1.∴f)在(0,1) 上单调递增，在(1，十∞)上单调递减 (2)证明：要证当x∈(1，+∞时，1<x一1lnx<x,即证lnx<x-1xlnx.(1)得fx) =lnx一x+1在(1，十o)上单调递减，∴当x∈(1，+o)时，fx)f1)=0,即有nx<x-1. 设Fx)=xnx一x十1，则Fx)=1十lnx一1=nx.当x∈(1，+o)时，F"x>0,Fx)单调 递增.∴FxPF)=0,即有xx一1.∴.原不等式成立. 2.(2020新高考I卷)已知函数fx)=ae-1-lnx十lna. (1)当a=e时，求曲线y=x)在点(1,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)若x21,求a的取值范围。 解：fx)的定义域为0，十oo),fw)=ae-1-1x()当a=e时，fx)=e-lnx+1,所以 )=e十1，f()=e一1，所以曲线y=x)在点(1,1)处的切线方程为y一(e十1)=(e一1) c-1),即y=(e一1)x十2.直线y=(e一1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为一2e一1,2，因 此所求三角形的面积为2e一1. 2)当0<a<1时，f)=a十lna<L.当a=1时，fx)=e-1-lnx,fx)=e-1-1x当x∈ 0,1)时，f)<0:当x∈(1，+)时，x>0.所以当x=1时，f)取得最小值，最小值为f ()=1,从而x≥1.当a>1时，fx)=ae-1-lnx十ln2e-1-ln之L.综上，a的取值范围是 [1,+∞). 3.已知fx)=xlnx,gx)=一x2十ax-3. (1)若对一切x∈(0，十o),2x2g()恒成立，求实数a的取值范国： (2)求证：对-切x∈(0，+ao),lnx>1ex一2ex恒成立. 解：(1)由题意知2xln之一x2+ax一3对一切x∈(0，十o)恒成立，则a≤2nx十x十3x. 设h()=2nx+x十3xc>0),则h'x)=x+3x-1x2.当x∈(0，)时，h'x) <0,h(x)单调递减：当x∈(1，十o)时，h'e)>0,h(e)单调递增.所以h(xm=h(1)=4, 因为对一切x∈(0，十o),2fx2g()恒成立，所以ash(x)mn=4,故实数a的取值范围是 (-0,41. (2)证明：问题等价于证明xnx>xex一2ex>0).因为f)=xnx(>0),fw)=lnx+ 1,当x∈\a\vs4\al\col(0,\f(1e)时，fx)<0,fx)单调递减：当x∈\ a\vs4\al\co1(f(1e),+)时，fx)>0,fy)单调递增，所以fx)min=f ·独家授权侵权必究· 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 \a\vs4 al\col(f(1e)=-1e设m(x)=xex-2ex>0),则m'x)=1-xex,当x∈(0,1) 时，m'(x)>0,mc)单调递增；当x∈(1，十oo)时，m'(x)<0,m(w)单谓递减，所以m()mx =m(1)=一1e,从而对一切x∈(0，十o),fx)>m(x)恒成立，即xnx>xex一2e恒成立.所 以对一切x∈(0，十o),lnx>1ex一2ex恒成立. 4.(2023武汉质检)已知fx)=xnx,g()=x3十ax2一x十2. (1)求函数fx)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，十o),2x)上g'(x)十2恒成立，求实数a的取值范围. 解：()函数f)=xlnx的定义域是(0，十o),fx)=lnx+1.令fx)<0,得nx+1 <0,解得0<x<le,fx)的单调递减区间是\avs4\al\co1(0,\f(1e).令fx>0,得ln x+1>0,解得x1e,∴x)的单调递增区间是\a\vs4\al\col(f(1e),+o).综上，fx)的 单调递减区间是\a\vs4\al\col(0,\f(1e),单调递增区闻是\a\vs4\al\col(f(1e), 十o) (2),g')=3x2+2ar-1,2fx)g'e)+2恒成立.，.2xln3x2+2ax+1恒成立.：'x >0,∴.2lnx-32x-12x在x∈(0，十o)上恒成立.设h(x)=nx-32x-12x(>0),则h'(x) =1x-32+12x2=-X-1 3x十12x2.令'x)=0,得