专题11 圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

专题11 圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题 一、椭圆定点问题 1．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于 (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过点和的圆与直线：交于，，已知点，且、分别与交于、.试探究直线是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由. 2．已知点，在椭圆 上. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点. 3．如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．    (1)求椭圆C的方程； (2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8. (1)求C的方程； (2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点. 5．已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦． (1)求的内心坐标； (2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． 二、双曲线定点问题 6．已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标. 7．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 8．已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点. (1)求双曲线的方程. (2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 9．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值. 10．已知双曲线 的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限．      (1)求的标准方程； (2)若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由． 三、抛物线定点问题 11．已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点． 12．已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切. (1)求抛物线的方程； (2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程. 13．已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切. (1)求椭圆C及抛物线M的标准方程; (2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由. 14．在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)为直线：上一个动点，过点作曲线的切线，切点分别为，，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标． 15．已知抛物线：，直线与抛物线C只有1个公共点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与直线分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 四、椭圆定值问题 16．已知椭圆C：的离心率，短轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由． 17．在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值. 18．已知为坐标原点，定点，，圆，是圆内或圆上一动点，圆与以线段为直径的圆内切. (1)求动点的