四川省2022-2023学年高一下学期“贡嘎杯”期末质量检测考试数学试题

2022~2023学年度下期高2022级“贡嘎杯”质量检测考试 数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中是虚数单位，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（ ） A B. C. 2 D. 4 5. 已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，，（与不共线），满足，，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，复数，，则（ ） A. 任意，均有 B. 任意，均有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 上单调递减 C. 的值域为 D. 存在两个不同的实数，使得为偶函数 11. 对于任意，，，两直线AD，BE相交于点O，延长CO交AB于点F，则下列结论正确的是（ ） A. B. ， C. 当，，时，则 D. 12. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C. 勒洛四面体表面上交线的长度为 D. 勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 14. 如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为________． 15. 已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为________. 16. 已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为______. 四、解答题：本题共6小题，17小题10分，18-22小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数，， （1）若，求角； （2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； （3）复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 18. 在①；②；③设面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知__________，且. （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 19. 如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧. （1）若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长； （2）若点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值. 20. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 21. 已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）在中，角A、B、C所对的边分别为，且，若角满足，求的取