精品解析：河北省滦州市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级9月考试数学试题

滦州市第一中学2026-2027学年第一学期 高三年级9月考试数学学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定判断即可. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故的否定为“，” 2. 已知集合，，则或（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，，， 所以，A错误； 或，B正确； ，C错误； ，D错误. 3. 已知等比数列中，，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】数列为等比数列，，， ， 则. 4. 已知向量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过计算出，再利用齐次分式求出结果即可. 【详解】由题意可得， 即. 故选：A. 5. 已知，那么的展开式中的系数为（ ） A. 120 B. C. 192 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用组合数性质求解n的值，再根据二项展开式的通项公式计算的系数. 【详解】 根据组合数性质，可得， 因此： 整理得，解得（舍去，组合数下标为正整数）. 二项式的展开式通项为： , 化简的指数：，令，解得. 将代入系数部分： 即的系数为. 6. 如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则. 那么，所以异面直线与所成角的余弦值为 , 故选：A. 7. 掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意得，抛掷红、蓝两个均匀的骰子，共有36个基本事件， 事件：蓝色骰子的点数是5或6，包括,， 共有12个基本事件，所以， 又由事件：两骰子的点数之和大于8， 可得事件，共有个基本事件， 所以，所以. 8. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域为,再判断出关于中心对称，进而判断出当时，的图象位于轴下方，结合排除法即可得答案. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为, 又因为 ， 所以关于中心对称，故排除C ,D； 当时，，， ，， 所以，图象位于轴下方，故排除B. 由对称性可知当时，的图象位于轴上方， 所以只有A满足. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. z的虚部为3 B. 在复平面内，z对应的点在直线上 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念、四则运算、共轭复数、模、几何意义判断选项即可. 【详解】由得，所以，z的虚部为，A选项错误； 在复平面内，z对应的点为，该点在直线上，B选项正确； ，所以，C选项正确； ，D选项正确. 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 可得在区间上单调递减，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，，则的面积等于______． 【答案】 【解析】 【详解】根据余弦定理：， 将已知条件代入： ，  展开整理得： ，即  ， 解得或，舍去负根，得，  代入三角形面积公式 . 13. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【解析】 【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 14. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，则，所以当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，，且时，当时， 当时，函数在上单调递增， 所以的图象如下所示： 对于函数，令，即， 令，则， 要使恰有个不相等的实数根， 即关于的有两个不相等的实数根，且，， 令，则有两个不相等的零点均位于之间， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）求的值和上四分位数； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 【答案】（1），上四分位数为77.25； （2）分布列为 0 1 2 ； 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征及百分位数的算法计算即可； （2）根据频率分布直方图结合分层抽样方法、离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，，解得， 上四分位数是第75百分位数，由图知的频率为0.16，的频率为0.3， 的频率为0.4，上四分位数落在内，不妨设为， 则，解得，上四分位数为77.25； 【小问2详解】 由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取5人， 则的可能取值为0，1，2，易知，， ， 的分布列 0 1 2 . 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 17. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，是棱上的动点不与、重合，连接 （1）证明： （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在正三棱柱中，取中点，连接，则， 因为为棱的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为在正三棱柱中，， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合正三棱柱的结构特征推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求出坐标，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为平面平面， 所以平面与平面的一个法向量均为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； （2）设，，，若函数是奇函数． ①求函数取得最大值时x的取值集合； ②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，对称轴方程为 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据整体代换求邯郸的单调区间即对称轴方程即可； （2）①根据函数奇偶性可得，再利用正弦型函数取最值的条件代入即可求解； ②根据双变量问题转化为函数值域间的关系，由换元法，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系得到值域，再根据值域的包含关系求解即可. 【小问1详解】 令，解得， 则函数的单调递增区间为． 令，解得， 故函数图象的对称轴方程为． 【小问2详解】 ① ，若函数是奇函数， 则，即， 因为，所以令，得． 则． 令，解得， 即函数取得最大值时x的取值集合为． ②当时，，此时的值域为． 设函数的值域为B，由题意． 设，则，设函数， 所以． 当时，即，所以在上单调递减， 所以，又， 所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，又 由， 当时，，函数的最大值为， 由或，不合题意． 综上，a的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间及零点； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）设，证明：数列单调递增，且． 【答案】（1）单调递增区间为，无减区间，零点为 （2） （3）由， 得， 由第（1）问，， 所以数列单调递增， 又由该求和式及第（1）问，得， 在第（2）问所得不等式中令，得 对，，，求和，得， 对任意正整数有 ， 因此， 结合上述两个不等式，． 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，结合单调性及即可确定零点； （2）分、、三种情况，结合导数求解即可； （3）先求得，利用作差法证明的单调性，由（2）可得，再用裂项相消法求和即可证明． 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 因为等号仅在时成立，所以的单调递增区间为，无减区间， 又，所以的零点为； 【小问2详解】 令，. 则. 当时，. 又，所以当时，. 又当时，，故时，题设不等式成立. 下面证明时，题设不等式不恒成立. 当时，由第（1）问知当时，而，故不符合题意，舍去. 当时，令，则，且. 当时，，从而.由于，故在上述区间内，题设不等式不成立，舍去. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滦州市第一中学2026-2027学年第一学期 高三年级9月考试数学学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则或（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，则（ ） A. 8 B. 16 C. D. 32 4. 已知向量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么的展开式中的系数为（ ） A. 120 B. C. 192 D. 6. 如图，在长方体中，，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. z的虚部为3 B. 在复平面内，z对应的点在直线上 C. D. 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，，则的面积等于______． 13. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 14. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）求的值和上四分位数； （2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为，求的分布列和期望． 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 17. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，是棱上的动点不与、重合，连接 （1）证明： （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程； （2）设，，，若函数是奇函数． ①求函数取得最大值时x的取值集合； ②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间及零点； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）设，证明：数列单调递增，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $