精品解析：北京市育英学校2023-2024学年高三上学期统一练习（一） 数学试卷

育英学校2024届高三年级统一练习（一） 数 学 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题．（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为 A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A B. C. D. 5. 函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 6. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 已知为共面的三个单位向量，且，则的取值范围是（ ） A. [－3，3] B. [－2，2] C. D. 8. 已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过点（）”的 A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 10. 点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O､P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题．（每小题5分，共25分） 11. 设是等差数列，且，，则数列的通项公式为_____． 12. 已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是________ 13. 椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点．若四边形的面积为4，则点的坐标为____，的离心率为____． 14. 已知函数. ①当m＝0时，函数零点个数为__________. ②如果函数恰有两个零点，那么实数m的取值范围为__________. 15. 已知函数，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号） ①是奇函数； ②在上是单调递增函数； ③方程有且仅有1个实数根； ④如果对任意，都有，那么最大值为2. 三、简答题．（共85分） 16. 如图,棱锥的底面是矩形， 平面，,. （1）求证: 平面; （2）求二面角大小; （3）求点到平面的距离. 17. 已知函数，且. (Ⅰ) 求的值及的最小正周期； (Ⅱ) 若在区间上单调递增，求的最大值. 18. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，将他们的测试数据用茎叶图表示如下： 高一 高二 6 4 3 9 0 5 8 9 6 2 3 8 1 4 5 8 9 8 5 2 1 7 2 3 3 9 9 7 7 6 4 6 4 5 7 8 8 3 0 5 0 2 6 4 0 2 《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 [90，100] [80，89] [60，79] [0，59] （1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率； （2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率； （3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，试比较与、与的大小．（只需写出结论） 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围． 20. 已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 21. 给定数列，若满足 (且)，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”． （1）已知数列的通项公式分别为，试判断数列是不是“指数型数列”； （2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”．若是，请给出证明，若不是，请说明理由； （3）若数列是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都