2.2 圆的对称性（垂径定理的四大题型巩固）2023-2024学年苏科版数学九年级上册

2.2 圆的对称性（垂径定理的四大题型巩固） 知识梳理 【知识点】垂径定理及其推论 1、垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 　　 特别说明： 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 2、垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【典型例题】 【题型1 利用垂径定理求半径】 【例1】如图，AB是的弦，半径于点D，若，，则OB的长是（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（　　） A． B．6 C． D．8 【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 【题型2 利用垂径定理求弦长】 【例2】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______． 【变式2-1】如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（       ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，是的直径，E为上一点，于点F，连接，，于点D．若，求线段长． 【变式2-3】如图，在半径为的中，弦长．求： （1）的度数； （2）点O到的距离． 【题型3 利用垂径定理求角度】 【例3】如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 【变式3-1】如图．AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠BOC＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【变式3-2】已知⊙O的半径为2，弦，弦，则∠BOC的度数为 　 　． 【变式3-3】如图，在⊙O中，AB＝AC． （1）若∠BOC＝100°，则的度数为 　 　°； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径． 【题型4 垂径定理的综合运用】 【例4】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E． (1)求证：四边形ADOE是正方形； (2)若AC=2cm，求⊙O的半径． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F． (1)求证：BC⊥DE； (2)若AB＝4，∠A＝30°，填空： ①线段AD的长为______；②线段BF的长为______． 【变式4-2】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度． 【变式4-3】已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点． （1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC； （2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长． 第 1 页 共 12 页 $$