指对幂函数及性质讲义-2024届高三数学一轮复习

2024备考一轮复习 函数专题重要考点《指对幂函数及性质》 （原卷版） Step1.最新真题速递，了解考点动向 ①2023天津卷//选择3 若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． ②2023新高考I卷//选择4 设函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. ③2023北京卷//填空11 已知函数，则 . Step2.回归知识点，把握方法技巧 基础知识点1： 有理指数幂的运算法则 ①aras＝ar+s；②(ar)s＝ars；③(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 指数的运算法则 ①aman=am+n(m,nR) ②(am)n=amn(m,nR) ③(ab)m=ambm(mR) 对数的运算法则 ①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).②loga(MN)＝logaM＋logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) ④loga＝logaM－logaN ⑤logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). 基础知识点2： 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1），其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 基础知识点3： 一般地形如y＝xα(α为常数)的函数叫做幂函数．对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图．幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边． 方法技巧1： 指数式与对数式互化的方法：将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 应用换底公式应注意的两个方面：化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.；题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式. 方法技巧2： 指数函数复合函数：形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 方法技巧3： 比较幂的大小的常用方法：对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． Step3.典例精讲，体会方法应用 ①初等函数概念判断 例.给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ②初等函数之指数对数的运算 例.已知函数，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． ③函数性质之定义域与值域单调性 例.函数y＝的定义域____________； 值域_____________ . ④函数性质之奇偶性与对称性周期性 例.若幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则=（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 Step4.练习精选，及时巩固 一、选择题 1．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（　　） A．5 B． C．2 D．－2 2.已知函数，则下列说法正确的是 A. 函数为奇函数 B. 函数的值域为 C. 当时，函数的图象关于直线对称 D. 函数的增区间为，减区间为 3．若满足，满足，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4. 已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数若关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若函数y＝g(x)的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g(x)等于(　　) A．ln B．ln C．ln D．ln (4＋x) 8．函数的单调递增区间为（ ） A． B．