江苏省仪征市2022-2023学年高一下学期期中调研数学试题

2022-2023年度第二学期期中调研试题 高一数学 参考答案及评分建议 2023.04 一、二 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C C D C A B AB BCD AD ABD 三、填空题: 13.3 14. 15. 16. 四、解答题: 17.(本小题满分10分) 已知平面向量,满足=2,=3,,的夹角为45°. (1)求; (2)求. 【解析】(1)因为,,,的夹角为, 根据数量积的定义,; ···········4分 (2) . ···········10分 18.(本小题满分12分) 已知复数(其中,,为虚数单位) 在① z >0;②z为纯虚数;③z的实部与虚部相等.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题. (1)若_,求实数m的值; (2)若复数的模为5,求实数m的值. 【解析】(1)若选①,因为,则,解得; ···········6分 若选②,因为z为纯虚数,则,解得; ···········6分 若选③,因为z的实部与虚部相等,则,解得. ···········6分 (2)因为, ···········9分 所以, 解得或. ···············································12分 19.(本小题满分12分) 已知,. (1)求的值; (2)求的值. 【解析】(1)∵,∴ ········2分 ; ·········6分 (2)∵ ···········9分 ∴.······12分 20.(本小题满分12分) 已知向量,,. (1)若,求的值; (2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值. 【解析】(1)因为,,, 所以. ···········3分 若,则,与矛盾,故. 于是. 又,所以. ···········6分 (2). 因为,所以, 从而. 于是,当,即时,取到最大值3; 当,即时,取到最小值. ···········12分 21.(本小题满分12分) 为响应国家“乡村振兴”号召,农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成个功能区:区域为荔枝林和放养走地鸡,区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮,区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓为安全起见,在鱼塘周围筑起护栏已知,,,. (1)若时,求护栏的长度的周长; (2)当为何值时,鱼塘的面积最小,最小面积是多少. 【解析】由,,,则, 所以,,则, 在中,由余弦定理得 , 则, …………………2分 所以,即,又, 所以,则, 综上,护栏的长度的周长为 ………4分 设, 在中,由,得, ……………6分 在中,由,得, ……………8分 而 , …………10分 而, 仅当,即时,有最大值为, 此时的面积取最小值为. ···········12分 22.(本小题满分12分) 法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形,则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”. 如图,△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次为O1、O2、O3. (1)求A; (2)若,△O1O2O3的面积为,求△ABC的周长. $$