2023年中考数学专题复习讲义　“手拉手”相似模型

“手拉手”相似模型 基础模型 已知：在△ABC中，DE∥BC，将△ADE绕点A旋转 结论1：三△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC； 结论2：两条拉手线BD，CE交于点F，则∠BFC=∠BAC 怎么用 1.找模型 “非等腰、共顶点，顶角相等、有旋转”即考虑“手拉手”模型 2.用模型 根据旋转角转换及线段成比例证明三角形相似 结论分析 结论1:△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC 证明: ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即 由旋转的性质得.∠BAD = ∠CAE， ∴△ADB∽△AEC. 拓展延伸 若题中已知“双等腰、共顶点、顶角相等、有旋转”，此时连接“拉手线”，构造全等三角形解题，详见模型19. 结论2:两条拉手线BD，CE交于点F，则∠BFC = ∠BAC 证明:∵△ADB∽△AEC. ∴∠ABD = ∠ACE. ∵∠DFE = ∠FBC + ∠BCF = ∠DBC + ∠ACB + ∠ACE， ∠BAC = 180°－∠ABC－∠ACB = 180°－∠ABD －∠DBC －∠ACB = 180°－∠ACE－∠DBC－∠ACB = 180°－∠DFE = ∠BFC， ∴∠BAC = ∠BFC. 满分技法 在相似三角形的判定方法中，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是“手拉手”模型中证明相似最核心心的判定方法. 模型拓展 已知:在△ABC中, DE//BC,∠BAC= 90°,将△ADE绕点A旋转 结论3:△ADE∽△ABC ,△ADB∽△AEC; 结论4:BD⊥CE; 结论5:连接BE,CD ,BE2+CD2 =BC2+DE2 ; 结论6: 满分技法 若原来的两个三角形相似,则旋转后的两个三角形也是相似的,再利用旋转的性质得到角度相等,转化比例关系即可得到由拉手线构成的两个三角形相似. 【考点剖析】 例1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证： (1)△ABD∽△CBE； (2)△ABC∽△DBE. 例2.如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且 ，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕 点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q． （1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP = AQ时，求证：≌； （2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：∽；并求当BP = a， 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）． A B C D E F A B C D E F P P Q 图1 图2 Q 例3.如图①,在矩形ABCD中,AB= 6,AD =8,点E是AD边的中点,连接AC,过点E作EF⊥AD交AC于点F. (1)求的值; (2)如图②,将△AEF绕点A逆时针旋转 ,求证:在旋转过程中,CF与DE的夹角始终为定值. 例2图 例4.（2022秋•岳阳县期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 【过关检测】 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论： ①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2； ②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE； ③△ABD和△CBE一定相似； ④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE． 其中正确的是　　．（填写所有正确结论的序号） 2. （宜宾中考）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N．下列结论正确的是　　（写出所有正确结论的序号）．①AM＝BN；②△ABF≌△DNF； ③∠FMC+∠FNC＝180°；④＝ 3.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，使∠ABC＝∠AED＝90°，连结BE，CD，CD与BE，AE分别交于点P，M，连结AP，下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是 　　．（只填序号） 4.（眉山中考）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论： ①∠EAB＝∠GAD； ②△AFC