课时验收评价(62) 圆锥曲线中的证明、存在性问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/4 色学科网书城■ 品牌书店，知名教辅，正版资源 ■.ZXXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（六十二) 圆锥曲线中的证明、存在性问题 1.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F(2,0),长轴长与短轴长的比值为2. ()求M的方程： (2)过点F的直线I与M交于A,B两点，BC⊥x轴于点C,AD⊥x轴于点D,直线BD 交直线x=4于点E,求证：点C,A,E三点共线. 解：(1)由题意得，ab=2,所以a2=2b2,又因为e=2,a2=b2+c2,所以2b2=b2+4, 解得b2=4,a2=8,所以椭圆M的方程为x28十y24=1. (2)证明：由题意可知，直线1斜率存在，设直线1的方程为y=(x一2)，由y=k(x一2)， x2+2y2=8,)(1+2kx2-8歇2x十(8k2-8)=0, 设A(:1,J),B(x2,2),则1十2=8k21十2k2,x1=8k2一81十2k2, 因为AD⊥x轴，所以D(,0), 直线BD的方程为y=y2x2-x1(x-x),所以E\a\vs4\al\col(4,\f(y2(4-x1) x2-x1)), 因为BC⊥x轴，所以C(0), 因为k4c=y1x1-x2,kc=y2(4一x1)(x2-x1)(4-x2), 所以kc-k4c=y2(4-x1)(x2-x1)(4-x2）-y1x1-x2 =y2(4-x1)+y1(4-x2)(x2-x1)(4-x2) =k(x2-2)(4-x1)+k(x1-2)(4-x2)(x2-x1)(4-x2) =k(x2-x1)(4-x2)6(e1+x)-2x2-16=2k(x2-x1)(4-x2)-M24k28k2-81+ 2k2)-8=16k(x2-x1)(4-x2)3k2-k2+1-1-2k21+2k2=0,所以C,A,E三点共线. 2.(2023常德检测)已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点P \a\vs4\al\co1(f(r(6)2),1),其渐近线方程为y=±2x. (①)求双曲线C的标准方程： (②)双曲线C上是否存在被点B(1,)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果 不存在，请说明理由. 解：(1)由双曲线C的焦点在坐标抽上，其渐近线方程为y=±2x,可设双曲线的标准方 程为2x2-y2=1,将P\a\vs4\al\co1(f(r(6)2),1)代入双曲线方程，可得i=2,所以双 曲线C的标准方程为x2一y22=1. (2)假设双曲线C上存在被点B(1,1)平分的孩，记孩所在的直线为L.设B(1,1)是孩MN的 中点，M:1,),N2,2),则：十=2，h十h=2.因为点M,N在双曲线C上，所以x olal(2 Aolal(22 Wolal(222)=1,两式相减得2(：+)(：一x)一0y一2)01+2)=0，所以4 :1一x2)=2(01一2，所以直线1的斜率kw=y1一y2x1一x2=2,所以直线I的方程为y一1 独家授权侵权必究 2/4 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m○ 您身边的互联网+敷辅专家 =2-1),即2x-y-1=0.联立x2-0222x-y-1=0,消去y,得2x2-4x+3=0,4=16-4 ×2X3=一8<0，所以直线1与双曲线无交点，所以直线1不存在，故不存在被点B(1,1)平 分的弦 3.(2023:东三省四市联考)已知椭圆C:x2a2十y22=1(a>2)的右焦点为F,A,B分别为 椭圆的左顶点和上顶点，△4BF的面积为2十1. (①)求椭圆C的标准方程； (2)过点F的直线1与椭圆C交于P,2两点，直线AP,AQ分别与直线x=22交于点M, N.证明：FM⊥FN. 解：()由题意可知，\a\vs4\al\col(AF)=a十c,b=2,则SA4Bp=12(a十c)X2=2+1, 所以a十c=2十r(2a2-c2=b2=22),解得a=2,c=\r(2),)因此，椭圈C的标准方程为 x24+y22=1. (2)证明：若直线I与x轴重合，则M,N重合，不合乎题意，椭 圆C的右焦点为F(2,0), 设直线1的方程为x=my十2，设点Ps1,),Q心，J),联立 x=my+\r(2),x2+2y2=4,)消去x并整理得m2+2)y2+22my-2 =0,4=8m2+8(m2+2)=16(m2十1>0恒成立，由根与系数的关系可得y十2=一2)mm2十2， 2=一2m2十2，直线AP的斜率为kp=y1x1十2=y1my1十2十r(2),直线AP的方程为y =y1my1+2+\r(2)x+2),令x=22,可得y=(2+2\r(2)y1y1+2+\r(2),即点M2), \f(2+2\r(2))ylmy1+2+\r(2))rc0(a\vs4 a