课时验收评价(61) 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/2 色学科网书城■ 品牌书店，知名教辅，正版资源 ■.ZXXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（六十一) 圆锥曲线中的定点、定值问题 1.(2023·运城模拟)已知P(1,2)在抛物线C:y2=2px>0)上. ()求抛物线C的方程： (2)4,B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证 明：直线AB过定点 解：(1)将P点坐标代入抛物线方程y2=2px得4=2p,即p=2,所以抛物线C的方程为 y2=4x (2)证明：设AB:x=m十1，将AB的方程与y2=4x联立得y2一4一4=0,4=16m2 +16>0m2十D0,设A(:1,J),Bs2,),则h十2=4m,=一4，kp4=y1一2x1-1 =v1-2olal214=4y1+2,同理可得kg=4y2+2,由题意得4y1十2+4y2十2=2,4+y2 十4)=20十21十2%十4)，解得2=4，有一4=4，即1=一1，故直线AB:x=m一1 恒过定点（一1,0）. 2.(2023湖北九师联盟开学考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2十y2b2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F,P八a\vs4\al\col(1,1f(r(2)2)是C上一点，且PF2 与x轴垂直. (1)求椭圆C的方程： (2)若过点Q八avs4\al\col(-1f(r(6)3),0)的直线1交C于A,B两点，证明：1 |AQ|2+1|BQ|2为定值 解：(1)由题意，得Fz(1,0),F(-1,0),且c=1,则2a=PFl+PF=(1+1)2+\ b1lc\(rc)(a\vs4\al\co1(f(r(2)2)-0))2+2)2=22,即a=2,所以b=a2-c2= 1,故椭圆C的方程为x22十y2=1. (2)证明：当直线AB的斜率为零时，点A,B为椭圆长轴的端点，则1|AQ2十1BQ2 1rel)(alys4\alcol(-r(2)+If(r(63))+1re\)(alvs4allcol(r(2)+f(r(63))= rcl)(aws4\al\co1(r(2)++\f(r(6\re\)(aks4alcol(r(2)-\f(r(63))rc\3))=43rc\3))=3: AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为x=一6)3，点As1,),B,),联立x= 一1r(63x22)+y2=1,消去x得t2+2y2-6)t3y-43=0,则4=832+1632+2>0恒成立， 由根与系数的关系，得片+2=6)t3(t2+2),2=一43(t2+2),所以1AQ2+1B02 =11+t21+11+t22=221+t222=1十y21+222=8t212+2)212+21+t212+22=16(2+112 +2)21+2t2十2)2=163×916=3.综上，1|AQ|2+1BQ|2=3为定值. 3.已知点M\a\vs4\alco1(1,f(32)),Na\vs4\al\co1(-1,-\f(32)),直线PM, PN的斜案乘积为一34，P点的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： 独家授权侵权必究 2/2 色学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 b2XXk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 (2)设斜率为k的直线交x轴于T,交曲线C于A,B两点，是否存在k使得4T2+| BT?为定值？若存在，求出k的值：若不存在，请说明理由 解：(1)设P点坐标为c,),krkw=-34,32x-132x十1=一34，.4 \a\vs4\al\co1(y-\f(32)八a\vs4\a1co1(y+\f(32)+3c-1)x+1)=0,∴.x24+y23 =1,∴.曲线C的方程为x24十y23=1x≠±1). (2)设A(1,h),B(,片)，设直线AB为x=my十n,代入3x2+4y2=12得3m2+42 +6mny+3n2-12=0,4=36m2n2-43n2-12)3m2+4)=483m2+4-n2>0,∴.47T2=(m2 +1y21,BT2=(m2+1y22,4TP+1BTT2=(m2+10021+y22☑=(0m2+1)01+2)2-2 =(0m2+1)bnc0rc3n2-123m2+4)=6(m2+1)(32+4)2(3m2-4)n2+43m2+4l,若1 AT2+BT2为定值，则3m2-4=0,解得m=±2\r(3),k4B=1m=±3)2，∴.存在k=±3) 2,使得AT2+BT2为定值， 4.(2022潍坊二模)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过A(-2,0),B0,1)两点. (1)求椭圆M的离心率： (2)设椭圆M的右顶点为C,点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与 直线CP交于点Q,直线BP