课时验收评价(60) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/3 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（六十) 圆锥曲线中的最值、范围问题 1.(2021全国乙卷)己知抛物线C:2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. ()求C的方程： (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值. 解：()由题意，得p=2..抛物线C的方程为y2=2px=4x. (2)(1)知F1,0).设P(1,),Q(,2)c>0).=9,即一x1,2一)=9(1一2， -2),.y2-y1=9(-y2),x2-x1=9(1-x2),)2=yf1109+x110),.ko0=y2x2 1109+x110=y19+x1.要求ko0的最大值，则令y>0,得y=4x1,ko0=4x1)9+x1=29x) 十rc1≤22八r(9)=13,当且仅当x1=9\r(x1),即1=9时，等号成立.故直线OQ斜率 的最大值为13. 2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为8，且点alvs4aco1M(5r(312)在C 上 (1)求C的方程： (2)若直线1与C相交于A,B两点，且线段AB被直线OM平分，求△4OB(O为坐标原 点面积的最大值 解：(1)依题意可知f(7514b22c=8,a2=b2十c2,解得a2=20,b2=4,)故C的方程为 x220+y24=1. (2)易得直线OM的方程为y=一15八r(3)x,设A(s1,),Bx2,),R,)为AB的 中点，其中=一15八r(3)x,因为A,B在椭圆上，所以1 f(xlolal(2loal(214 xlolal2川oal224)=1,两式相减可得k4B=y1一y2x1一x2=-420×x1+ x2y1十y2=-15×2x02y0=3.可设直线1的方程为y=3x十m,联立y=r(3x2y24=1,整理 得16x2+103x十5m2一20=0，则4=300m2-64(5m2-20)>0,解得-8<m<8,则x1+x2= -3)m8,xw2=5m2-2016,则期4B=1+3rc)0aws4aco1(-Mf5r(35m2-2016=-5m2+ 320)4,原点到直线I的距离d=m小r(1+3)=|m2,则△4OB的面积S=12d4B=12× ml2×-5m2+320)4=-5b11c\(rc1)(a\vs4\al\co1(m2-32))2+5120)16.当且仅 当m2=32,即m=±42时，△4OB的面积有最大值，且最大值为25. 3.(2023成阳模拟)已知双曲线C:y2a2一x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，且经过A 02). (I)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P,Q,设PQ中点为M,求 三角形BOM(O为坐标原点面积的取值范围. 解：(1)双曲线的离心率为2，即ca=2,因为点A(0,2)在双曲线y2a2一x2b2=1上，所 独家授权侵权必究 2/3 多学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 以4a2=1,，a=2,则c=22,又c2=a2+b2,所以b=2.所以双曲线C的方程为2-x2=4. (2)易知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x一2=mm≠0)，由x一2=my, y2-x2=4,)得(1一m2-4my-8=0,设P,Q两点的纵坐标分别为片，，则1一m20, 1-m2)=16(2-m24m1-m2-81-m2)>0, 解得1<m<2.设点M的纵坐标为，则%=y1+y22=2m1一m2,所以SAoM=12X| 0B×m=12×2×\f(2m1-m2)=2mm2-1=21m,1<m<2.易知函数y=x一1x在(1,2) 上单调递增，所以m一1m∈\a\vs4\al\co1(0,\f(r(2)2),所以三角形BOM面积的取 值范围为22，十∞). 4.己知椭圆x2a2十y2b2=1(a>b>0),右焦点F1,0),离心率为 2)2,过F作两条互相垂直的弦AB,CD, (①)求椭圆的标准方程： (2)求以A,B,C,D为顶点的四边形的而积的取值范围， 解：（①）由题意得c=1,ca=2)2,.a=2,则b=c=1,则椭圆的标准方程为x22十y2 =1 (2)①当两直线一条斜率不存在、一条斜率为0时，S=124B1CD1=12×22×2=2.②当 两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB的方程为y=kc一)，A1,,B,),将 其代入椭圆方程整理得(1+2k内x2一42x十2k2一2=0，则1+x2=4k21十2k2,xx2=2k2 21+2k2,则4B=1+k2x1一x=2)(k2+1)1+2k2,同理，1CD=2)(k