课时验收评价(50) 立体几何中的综合问题(习题课）（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/5 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■.ZXXK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（五十）」 立体几何中的综合问题（习题课) 1.(2022泉州二模)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD 为折痕把△4CD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD=60°，E,F,H分别为PB,BC, PD的中点，G为CF的中点（如图② 图① 图② (I)求证：GH∥平面DEF: (2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值. 解：（①）证明：连接BH,与ED相交于点M,连接MF,因为三角形ABC是等腰直角三 角形，CD是斜边AB上的高，所以AD=DB,即PD=DB,因为∠PBD=60°，所以△PBD 是等边三角形，因为E,H分别为PB,PD的中点，所以DE,BH是△PBD的中线，BM= 23BH,因为F为BC中点，G为CF的中点，所以BF=23BG,所以MF∥GH,因为MF C平面DEF,GHt平面DEF,所以GH∥平面DEF (2)因为CD⊥DB,CD⊥DP,DB∩DP=D,所以CD⊥平面DBP. 如图，过点D作直线垂直平面BDC,作空间直角坐标系，设PD= DB=DC=2,则C(0,2,0),B(2,0,0),P1,0,3),H BE alvs4alco11r32),alvs4alco1M132),0,=(-2,2,0),= (-1,0,3),=avs4alco10,Mf3r(32). 设n=c,y,z)是平面PBC的法向量，则即-2x十2y=0,一x十\r(3)z=0,)令x=3,则 y=3,z=1,n=(3,3,1).设直线GH与平面PBC所成角为0，则sin0=cos n,1= =7)7,故直线GH与平面PBC所成角的正孩值为7)7. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥ CD,AB⊥BC,AB=BC=2CD=4,PA=2,PB=25,E为BC的中点， 且PE⊥BD (I)证明：PA⊥平面ABCD: (2)线段PB上是否存在一点M,使得二面角MDEA的余弦值为39？若存在，试确定 点M的位置：若不存在，请说明理由. 解：(I)证明：连接AE,AE与BD的交点记为点O,因为AB=BC,BE=12BC=2=CD, ∠ABE=∠BCD=90°，所以△ABE≌△BCD,所以∠BAE=∠CBD,因为∠ABD+∠CBD =90°，所以∠ABD十∠BAE=90°，所以∠AOB=90°，即BD⊥AE,又因为BD⊥PE,且 独家授权侵权必究· 2/5 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 PE∩AE=E,所以BD⊥平而PAE,因为PAC平面PAE,所以BD⊥PA.因为在△PAB中， PA2十AB2=PB,所以PA⊥AB,又因为BD∩AB=B,所以PA⊥平面ABCD. (2)存在，点M为靠近点B的三等分点，理由如下：如图，以B为坐 标原点，BA,BC所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系，则A (4,0,0),B0,0,0,C0,4,0),P4,0,2),E0,2,0),D(2,4,0),=(4,0,2),设= 2=(42,0,2)0≤2≤1)，即点M(4,0,2), 则=(41，一2,21)，=(2,2,0). 设平面DEM的法向量1=(x,,), 由 取x=2,则n1=(0,一1，一21一1)， 易知，平面ABCD的一个法向量为2=(0,0,1)， 因为二面角MDEA的余弦值为3)9， 即cosn,|=|nl·n2lln1|ln2|=|2x+1r(2x2+(2x+1)2)=3)9, 整理可得2122-41-1=0，解得1=一17（舍去）或1=13. 故线段PB上存在一点M,使得二面角M-DEA的余弦值为3)9， 此时点M为靠近点B的三等分点。 3.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，平面PAC ⊥平面ABC,△PAC中，PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC, PB的中点. (①)求证：BC⊥平面PAC: (2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线1上动点，求直线PQ与平面 AEF所成的角的取值范围. 解：（①）证明：C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，∴BC⊥AC, 又平面PAC⊥平面ABC, 且平面PAC∩平面ABC=AC,BCc平面ABC, ∴.BC⊥平面PAC. (2)由E,F分别是PC,PB的中点， ∴BC∥EF, 又EFC平面AEF,BCt平面AEF, ∴BC∥平面AEF, 又BCC平面ABC,平而AEF∩平而ABC=L, .BC∥L 独家授权侵权必究 3/5 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 以C